שיעור זה עוסק בגבעים במשולש, מגדיר את הגבעים כמקטעים היוצאים מקודקוד ומגיעים לצלע מול בזווית ישרה, ומתאר את משפט מפגש שלושת הגבעים בנקודה אחת בתור תכונה חשובה בגיאומטריה של המשולש.
להבין מהו גבע במשולש
להכיר את משפט מפגש שלושת הגבעים בנקודה אחת
להבין את התכונה של מקטעי הגבעים בגיאומטריה
לדעת לסמן זוויות ולזהות זוויות ישרות בהקשר לגבעים
הגדרת גבע במשולש: הגבע הוא מקטע היוצא מקודקוד המשולש ומגיע לצלע מול בזווית ישרה.
משפט מפגש הגבעים: שלושת הגבעים במשולש נפגשים בנקודה אחת ולכן אם ידועים שניים, השלישי עובר דרכם גם כן.
תכונת הגבעים: תכונה חשובה הקובעת יחס בין מקטעים שנוצרים מהגבעים, כשהיחסים הם שווים בהתאם לנקודות ההשקה בגבעים.
חשיבות סימון זוויות: בעת פתרון בעיות עם גבעים חשוב לסמן זוויות באופן מדויק ולזהות זוויות ישרות כדי להקדם בהבנה ובהוכחות.

תרגול קצר

זיהוי גבעים במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC, סמן את הגבע היוצא מהקודקוד A לצלע BC והראה מדוע הוא בזווית ישרה לצלע זו.

גבעזווית ישרהמשולש

רמז: זכור שהגבע הוא מקטע יוצא מקודקוד וניצב לצלע מולו.

פתרון מלא

תשובה סופית: הגבע ב-ABC הוא מקטע מ-A לצלע BC בזווית 90 מעלות.

השרטוט מראה כי הגבע מהקודקוד A לצלע BC חותך את BC בזווית ישרה לפי ההגדרה של גבע.

הוכחת מפגש גבעים

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש כלשהו, הוכח כי שלושת הגבעים נפגשים בנקודה אחת.

גבעמשפט הגבעיםהוכחה

רמז: נסה להראות כי אם שני גבעים נפגשים בנקודה אז השלישי עובר גם הוא באותה נקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: שלושת הגבעים נפגשים בנקודה אחת במשולש כלשהו.

לפי משפט הגבעים, שלושת הגבעים במשולש נפגשים בנקודה אחת ולכן אם שניים נפגשים בנקודה אז השלישי גם עובר דרכה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת מפגש שלושת הגבעים

איך להראות ששלושת הגבעים נפגשים בנקודה אחת

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת מפגש אחת לכל שלושת הגבעים
נתון 1
משולש ABC
נתון 2
גבע הוא מקטע היוצא מקודקוד ומגיע לצלע ניצב אליה
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשפט המוכר שלפיו אם שני גבעים נפגשים בנקודה אז השלישי גם עובר דרכה.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
סרטט את שני הגבעים וראה את נקודת המפגש שלהם על אחד הצלעות.
סרטט את שני הגבעים וראה את נקודת המפגש שלהם על אחד הצלעות.
תוצאה
מסיימים בתשובה
שלושת הגבעים אכן נפגשים בנקודה אחת.

נקודת המפגש נקראת אורתוצנטר המשולש.

אפשר לתרגל עם דוגמאות נוספות.

פתרונות כלליים

זיהוי גבעים במשולש: השרטוט מראה כי הגבע מהקודקוד A לצלע BC חותך את BC בזווית ישרה לפי ההגדרה של גבע.
הוכחת מפגש גבעים: לפי משפט הגבעים, שלושת הגבעים במשולש נפגשים בנקודה אחת ולכן אם שניים נפגשים בנקודה אז השלישי גם עובר דרכה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודת מפגש אחת לכל שלושת הגבעים

משולש ABC

גבע הוא מקטע היוצא מקודקוד ומגיע לצלע ניצב אליה

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

נבנה משוואה

סרטט את שני הגבעים וראה את נקודת המפגש שלהם על אחד הצלעות.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני המשולש והגבעים

משפט מפגש הגבעים

שרטוט הגבעים וציור נקודת מפגש

להוכיח שגם הגבע השלישי עובר בנקודה

סיכום ומסקנה

פתרונות כלליים