השיעור מטרתו להסביר את תכונות מפגש חוצי הזווית במשולש, להוכיח שהם נפגשים בנקודה אחת, ולהבין את משמעות מרכז המעגל החסום שהוא נקודת המפגש הזו, כולל הקשר לרדיוס החסום ולשטח המשולש.
להבין את ההגדרה של חוצה זווית במשולש
להוכיח שמפגש שני חוצי הזווית במשולש מגדיר את נקודת מרכז המעגל החסום
להכיר את התכונה שהנקודה במפגש חוצי הזווית נמצאת במרחקים שווים משלושת צלעות המשולש
להרחיב על הקשר בין מרכז המעגל החסום לרדיוס המעגל ולשטח המשולש
לזהות טעויות נפוצות בשרטוט חוצי זווית ומעגל חסום
חוצה זווית במשולש והוכחת מפגשם: תחילה מציגים שני חוצי זווית במשולש, מדגימים את שוויון המרחקים מנקודת מפגש החוצי הזווית לשוקי הזווית, ומוכיחים כי גם חוצה הזווית השלישי עובר בנקודה זו.
מרכז המעגל החסום ומשמעותו: הנקודה בה נפגשים כל חוצי הזווית איננה נקודה רגילה; היא נמצאת במרחק שווה משלוש צלעות המשולש ומהווה את מרכז המעגל החסום שנוגע בשלוש הצלעות הפנימיות.
טעויות נפוצות בשימוש בחוצי זווית ובאנכים: יש להבדיל בבירור בין נקודת מפגש חוצי הזווית לבין נקודת מפגש האנכים לצלעות, זיהוי שגוי עלול להוביל לטעויות בשרטוט ובהסבר.

תרגול קצר

מיקום מפגש חוצה הזווית במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC עם חוצי זווית מנקודות A ו-B הנחתכים בנקודה D. הוכח שבחוצה הזווית השלישי מנקודת C גם יעבור דרך D.

גיאומטריהחוצה זוויתמשולש

רמז: השתמש בתכונה שמרחקי נקודה על חוצה הזווית שווים לשוקי הזווית ופרק את המשולש לתתי משולשים לחפיפה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודה D היא נקודת מפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.

מכיוון שהנקודה D נמצאת על חוצה הזווית מ-A ועל חוצה הזווית מ-B, המרחק שלה לשוקי הזוויות A ו-B שווה. מכאן נובע כי המרחק שלה גם לשוקי הזווית מ-C שווה, ולכן D נמצא גם על חוצה הזווית מ-C.

חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון משולש ששטחו 24 סמ"ר והיקפו 20 ס"מ. חשב את רדיוס המעגל החסום.

רדיוס חסוםשטחהיקףגיאומטריה

רמז: השתמש בנוסחה הקשורה בין השטח, ההיקף והרדיוס החסום: R=(2S)/P.

פתרון מלא

תשובה סופית: רדיוס המעגל החסום הוא 2.4 ס"מ.

R = (2 * 24) / 20 = 48 / 20 = 2.4 ס"מ.

הוכחת נוסחת שטח עם רדיוס חסום והיקף

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח ששטח המשולש שווה למחצית מכפלת הרדיוס החסום בהיקף המשולש.

הוכחהשטחרדיוס חסוםגיאומטריה

רמז: פרק את המשולש לשלושה תתי משולשים עם בסיס צלע אחת וגובה הרדיוס החסום, סכום השטחים שווה לשטח הכולל.

פתרון מלא

תשובה סופית: S = (R * P)/2.

שטח המשולש = סכום שטחי תתי-המשולשים = R*(a/2) + R*(b/2) + R*(c/2) = (R/2)*(a + b + c) = (R*P)/2.

זהה מרכז המעגל החסום וחשב רדיוסו

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC נתון כי חוצי הזווית מ-A ו-B נפגשים בנקודה O. אם היקף המשולש 30 ס"מ ושטחו 60 סמ"ר, חשב את אורך הרדיוס של המעגל החסום.

שאלון 581גיאומטריהרדיוס חסום

רמז: השתמש בנוסחה ל-R והגדר את O כניקוד מרכז המעגל החסום.

פתרון מלא

תשובה סופית: רדיוס המעגל החסום הוא 4 ס"מ.

R = 2S / P = (2*60)/30 = 120/30 = 4 ס"מ.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מיפוי פתרון: הוכחת מפגש חוצי הזווית בשלוש נקודות במשולש

זיהוי נקודת מפגש חוצה הזווית ושל תפקיד מרכז המעגל החסום

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכיח שגם חוצה הזווית מ-C עובר בנקודה C / מיקום נקודת מפגש שלוש חוצי הזווית
נתון 1
משולש ABC
נתון 2
חוצי זווית מנקודות A ו-B נפגשים בנקודה C
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בתכונה שמרחקי נקודה על חוצה זווית שווים לשוקי הזווית, נחבר את המסקנות ונראה שהנקודות זהות.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הראה שהמרחק מנקודת המפגש לשוקי הזווית מ-A ו-B שווה
הראה שהמרחק מנקודת המפגש לשוקי הזווית מ-A ו-B שווה
פישוט
חפש מחברים בין המשולשים בנקודת המפגש להראות שהמרחק לצלע השלישית שווה
חפש מחברים בין המשולשים בנקודת המפגש להראות שהמרחק לצלע השלישית שווה
תוצאה
מסיימים בתשובה
וודא שהמרחק מנקודת המפגש לצלעות שווה

מפגש חוצי הזווית יוצר מרכז מעגל חסום שמרחקו שווה לצלעות.

מסקנה זו חשובה לפתירת בעיות גיאומטריות למשולש.

פתרונות כלליים

מיקום מפגש חוצה הזווית במשולש: מכיוון שהנקודה D נמצאת על חוצה הזווית מ-A ועל חוצה הזווית מ-B, המרחק שלה לשוקי הזוויות A ו-B שווה. מכאן נובע כי המרחק שלה גם לשוקי הזווית מ-C שווה, ולכן D נמצא גם על חוצה הזווית מ-C.
חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש: R = (2 * 24) / 20 = 48 / 20 = 2.4 ס"מ.
הוכחת נוסחת שטח עם רדיוס חסום והיקף: שטח המשולש = סכום שטחי תתי-המשולשים = R*(a/2) + R*(b/2) + R*(c/2) = (R/2)*(a + b + c) = (R*P)/2.
זהה מרכז המעגל החסום וחשב רדיוסו: R = 2S / P = (2*60)/30 = 120/30 = 4 ס"מ.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכיח שגם חוצה הזווית מ-C עובר בנקודה C / מיקום נקודת מפגש שלוש חוצי הזווית

משולש ABC

חוצי זווית מנקודות A ו-B נפגשים בנקודה C

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הראה שהמרחק מנקודת המפגש לשוקי הזווית מ-A ו-B שווה

חפש מחברים בין המשולשים בנקודת המפגש להראות שהמרחק לצלע השלישית שווה

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

קיים משולש ABC

הבנת תכונת חוצה הזווית

שוויון מרחקים בנקודת מפגש

חפיפת משולשים להוכחה

ודא נקודת מפגש שלושת החוצים

מסקנה מרכזית

פתרונות כלליים