השיעור עוסק בהבנת מושג ההסתברות המותנית דרך דוגמה עם כדורי צבע, תוך שימוש בדיאגרמת עץ וניסוח שפה הסתברותית נכונה. נלמד כיצד לשנות את ה'שלם' בהתחשב במידע ידוע וכיצד לכתוב ולטפל באירועים מותנים בצורה אלגברית.
להבין מהי הסתברות מותנית
ליישם נוסחת הסתברות מותנית בדוגמות מעשיות
לזהות מתי יש לשנות את ה'שלם' בהסתברות בעקבות מידע ידוע
לכתוב תשובות בשפה הסתברותית נכונה כדי לקבל ניקוד מלא בבגרות
לנתח בעזרת דיאגרמת עץ את ההסתברויות של אירועים מורכבים
הקדמה למושג ההסתברות המותנית: הסבר כיצד מידע ידוע משנה את השלם שעליו מתבססת ההסתברות, ומדוע חשוב להבין מתי ליישם הסתברות מותנית.
דוגמה מעשית: כדורי צבע: ניתוח הבעיה בה מוציאים שני כדורים ללא החזרה מתוך קבוצה של כ۸ כדורים בצבעים שונים, חישוב ההסתברויות לקבלת כדורים שווי צבע והסתברויות מותנות מבוססות על מידע ידוע.
נוסחת ההסתברות המותנית: הצגת הנוסחה P(A|B) = P(A חיתוך B) / P(B) ודוגמה ליישומה בבעיה, כולל הסבר מדויק לשימוש במונה ובמכנה בהתאם לאירועים.

תרגול קצר

חישוב הסתברות לקבלת שני כדורים שווי צבע

רמת קושי: קל

ממתין

יש 8 כדורים: 5 לבנים ו-3 שחורים. ארז מוציא שני כדורים ללא החזרה. מה ההסתברות ששני הכדורים הם שווי צבע?

הסתברות בסיסיתהסתברות מהתרחיש הכולללא מותנית

רמז: השתמש בדיאגרמת עץ: הסתברות לבחור לבן ואז לבן, ועוד הסתברות לבחור שחור ואז שחור.

פתרון מלא

תשובה סופית: 26/56 או כמוקטן 13/28

ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים היא 5/8 כפול 4/7 = 20/56. ההסתברות להוציא שני כדורים שחורים היא 3/8 כפול 2/7 = 6/56. סכום ההסתברויות הוא 26/56 שזו התוצאה הסופית.

הסתברות מותנית לקבלת שני כדורים שחורים בהינתן ששני הכדורים שווי צבע

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן שארז הוציא שני כדורים שווי צבע מתוך 5 לבנים ו-3 שחורים ללא החזרה, מה ההסתברות ששני הכדורים שחורים?

הסתברות מותניתדיאגרמת עץכפל וחיבור

רמז: חשב קודם את ההסתברות לשני כדורים שווי צבע ואז את ההסתברות לשני כדורים שחורים, ואחר כך חשב את ההסתברות המותנית לפי הנוסחה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3/13

P(שחורים|שווי צבע) = P(שחורים ושווי צבע) / P(שווי צבע). על כן, ההסתברות המותנית היא (3/8 * 2/7) / ((5/8 * 4/7) + (3/8 * 2/7)) = (6/56) / (20/56 + 6/56) = 6/26 = 3/13.

חישוב הסתברות מותנית בהינתן שידוע שהכדורים שוניםי צבע

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן שהכדורים שארז הוציא שוניםי צבע, מה ההסתברות שהכדור הראשון הוא לבן?

הסתברות מותניתאירועים תלוייםנוסחת הסלש

רמז: חישוב ההסתברות שהכדור ראשון לבן והשני שחור מתוך כל המקרים שהכדורים שוניםי צבע, חלקי ההסתברות שהכדורים שוניםי צבע.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/2

P(הכדור הראשון לבן|שוניםי צבע) = P(הכדור ראשון לבן ושני שחור) / P(שוניםי צבע) = (5/8 * 3/7) / ((5/8*3/7)+(3/8*5/7)) = (15/56) / (15/56 + 15/56) = 15/56 ÷ 30/56 = 1/2.

שאלה בסגנון בגרות: הסתברות מותנית בין אירועים צבעוניים

רמת קושי: בגרות

ממתין

יש 8 כדורים, 5 לבנים ו-3 שחורים. ארז מוציא 2 כדורים ללא החזרה. ידוע ששני הכדורים שווי צבע. מה הסיכוי שהם שחורים? נמק וסמן את התשובה בשפה הסתברותית נכונה.

הסתברות מותניתבגרותניסוח הסתברותי מדויק

רמז: השתמש בנוסחת ההסתברות המותנית ובנוסח P(שחורים | שווי צבע) = P(שחורים וחווי צבע) חלקי P(שווי צבע).

פתרון מלא

תשובה סופית: 3/13

P(שווי צבע) = P(לבן לבן) + P(שחור שחור) = (5/8)(4/7) + (3/8)(2/7) = 20/56 + 6/56 = 26/56. P(שחורים וחווי צבע) = (3/8)(2/7) = 6/56. לכן P(שחורים|שווי צבע) = 6/56 ÷ 26/56 = 6/26 = 3/13. הכתיבה הסתברותית נכונה: P(שחורים | שווי צבע) = P(שחורים ∩ שווי צבע) / P(שווי צבע).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה ב: מה ההסתברות ששני הכדורים הם שווי צבע?

הסתברות להוצאת שני כדורים שווי צבע מתוך כלל הכדורים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ההסתברות ששני הכדורים הם שווי צבע
נתון 1
סה"כ כדורים: 8
נתון 2
כדורים לבנים: 5
נתון 3
כדורים שחורים: 3
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את ההסתברות להוציא שני לבנים ועוד ההסתברות להוציא שני שחורים ואז לחבר ביניהן.
נוסחה
P(2 לבנים) = 5/8 * 4/7 P(2 שחורים) = 3/8 * 2/7
P(2 לבנים) = 5/8 * 4/7P(2 שחורים) = 3/8 * 2/7P(2\ לבנים)= (5)/(8) x (4)/(7) P(2\ שחורים)= (3)/(8) x (2)/(7)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
P(שווי צבע) = P(2 לבנים) + P(2 שחורים) = 20/56 + 6/56
P(שווי צבע) = P(2 לבנים) + P(2 שחורים) = 20/56 + 6/56
P(שווי צבע) = 20/56 + 6/56P(שווי צבע) = (20)/(56) + (6)/(56)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

סה"כ כדורים וצבעים

מה עושים

יש 5 כדורים לבנים ו-3 כדורים שחורים מכלל 8 כדורים.

למה

צריך לדעת את החלוקה להערכת הסיכויים.

זיהוי נתונים

הוצאת שני כדורים ללא החזרה

מה עושים

ארז מוציא שני כדורים ברצף ללא החזרה.

למה

ההסתברות בשלב השני תלויה בתוצאה של השלב הראשון.

בחירת שיטה

הסתברות להוציא שני כדורים שווי צבע

מה עושים

הסיכוי הוא סכום ההסתברויות להוציא 2 לבנים ועוד 2 שחורים.

למה

התוצאה הרצויה היא הוצאת 2 כדורים מאותו צבע כלשהו.

בניית משוואה

חישוב הסתברויות להוצאת זוג לבנים ושחור

מה עושים

P(2 לבנים) = 5/8 * 4/7 P(2 שחורים) = 3/8 * 2/7

למה

הסתברות מוצאת כדור ראשון בצבע מסוים, ואז כדור שני מצבע זהה ללא החזרה.

נוסחה / הצבה

P(2 לבנים) = 5/8 * 4/7P(2 שחורים) = 3/8 * 2/7P(2\ לבנים)= (5)/(8) x (4)/(7) P(2\ שחורים)= (3)/(8) x (2)/(7)

זכור שכאשר מוציאים ללא החזרה המספרים משתנים בשלב השני.

פתרון

חיבור הסתברויות להוצאת כדורים שווי צבע

מה עושים

P(שווי צבע) = P(2 לבנים) + P(2 שחורים) = 20/56 + 6/56

למה

שני האירועים בלתי תלויים ומכסים את כל האפשרויות הרצויות.

נוסחה / הצבה

P(שווי צבע) = 20/56 + 6/56P(שווי צבע) = (20)/(56) + (6)/(56)

תשובה

פישוט תוצאה סופית

מה עושים

P(שווי צבע) = 26/56 = 13/28

למה

פישוט שברים לקבלת תוצאה פשוטה וברורה.

נוסחה / הצבה

P(שווי צבע) = 26/56 = 13/28P(שווי צבע) = (26)/(56) = (13)/(28)

יש לפשט תמיד את השברים ככל האפשר.

פתרונות כלליים

חישוב הסתברות לקבלת שני כדורים שווי צבע: ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים היא 5/8 כפול 4/7 = 20/56. ההסתברות להוציא שני כדורים שחורים היא 3/8 כפול 2/7 = 6/56. סכום ההסתברויות הוא 26/56 שזו התוצאה הסופית.
הסתברות מותנית לקבלת שני כדורים שחורים בהינתן ששני הכדורים שווי צבע: P(שחורים|שווי צבע) = P(שחורים ושווי צבע) / P(שווי צבע). על כן, ההסתברות המותנית היא (3/8 * 2/7) / ((5/8 * 4/7) + (3/8 * 2/7)) = (6/56) / (20/56 + 6/56) = 6/26 = 3/13.
חישוב הסתברות מותנית בהינתן שידוע שהכדורים שוניםי צבע: P(הכדור הראשון לבן|שוניםי צבע) = P(הכדור ראשון לבן ושני שחור) / P(שוניםי צבע) = (5/8 * 3/7) / ((5/8*3/7)+(3/8*5/7)) = (15/56) / (15/56 + 15/56) = 15/56 ÷ 30/56 = 1/2.
שאלה בסגנון בגרות: הסתברות מותנית בין אירועים צבעוניים: P(שווי צבע) = P(לבן לבן) + P(שחור שחור) = (5/8)(4/7) + (3/8)(2/7) = 20/56 + 6/56 = 26/56. P(שחורים וחווי צבע) = (3/8)(2/7) = 6/56. לכן P(שחורים|שווי צבע) = 6/56 ÷ 26/56 = 6/26 = 3/13. הכתיבה הסתברותית נכונה: P(שחורים | שווי צבע) = P(שחורים ∩ שווי צבע) / P(שווי צבע).

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. הסתברות גם או מותנית

ניווט לפי נושאים

הסתברות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ההסתברות ששני הכדורים הם שווי צבע

סה"כ כדורים: 8

כדורים לבנים: 5

כדורים שחורים: 3

הרעיון המרכזי

P(2 לבנים) = 5/8 * 4/7 P(2 שחורים) = 3/8 * 2/7

נבנה משוואה

P(שווי צבע) = P(2 לבנים) + P(2 שחורים) = 20/56 + 6/56

פתרון מפורט

סה"כ כדורים וצבעים

הוצאת שני כדורים ללא החזרה

הסתברות להוציא שני כדורים שווי צבע

חישוב הסתברויות להוצאת זוג לבנים ושחור

חיבור הסתברויות להוצאת כדורים שווי צבע

פישוט תוצאה סופית

פתרונות כלליים