וידאו · הסתברות
ג3. הסתברות תרגיל מהבגרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בפתרון בעיות הסתברות במשחק עם שלוש תוצאות אפשריות של נקודות: 10, 15 ו-30. נלמד כיצד להגדיר משתני הסתברות, לבנות משוואות מהנתונים, לפתור אותן, ולהסביר תרחישים שונים של זיכוי בנקודות רצופות, כולל שימוש בטכניקות קומבינטוריות והסתברויות בנגיוניות.
- להבין כיצד להגדיר משתני הסתברות במצב עם מספר תוצאות אפשריות
- לכתוב משוואות מבוססות על הסתברויות בתרחישים של משחקים רצופים
- לפתור משוואות ריבועיות לשם מציאת הסתברויות
- לחשב הסתברויות של אירועים מורכבים הכוללים שילובים שונים של תוצאות
- להבין וליישם את עקרונות הקומבינטוריקה בהסתברויות
- להשתמש בבנק האפשרויות (binomial distribution) כדי לחשב הסתברות של לפחות/לכל היותר מספר מסוים של הצלחות
- הגדרת משתני ההסתברות ומציאת ערכים: נתונות שלוש אפשרויות לזכייה בנקודות במשחק: 10, 15, ו-30 נקודות. ההסתברות לזכות ב-30 נקודות היא 0.2, ההסתברות לזכות בשני משחקים רצופים בסכום כולל של 25 נקודות היא 0.3. מגדירים p כהסתברות לזכות ב-10 נקודות, ההסתברות לזכות ב-15 נקודות היא 0.8-p בשל חיבור ההסתברויות לסכום 1.
- פתרון משוואות הסתברויות עם משחקים רצופים: חישוב ההסתברות לזכות בסכום כולל של 25 נקודות בשני משחקים. האפשרויות הן לזכות 10 ואז 15, או להיפך. בניית משוואה ריבועית עבור p ופיתרונה מודולו 53 בשל שדה ההסתברות.
- חישוב הסתברות בסכום של 50 בנקודות בשלושה משחקים: עבודה על טבלה של תרחישים לזכייה בשלושה משחקים בסכום כולל של 50 נקודות. חשיבה קומבינטורית על פיזור הנקודות 10, 15 ו-30 בין המשחקים והכפלת הסיכויים במספר הסידורים האפשריים (גורם 3).
תרגול קצר
חישוב p במשוואה ריבועית
רמת קושי: קל
בהתחשב במשחק עם שלוש אפשרויות לזכייה בנקודות, כאשר ההסתברות לזכות ב-30 נקודות היא 0.2, ומשפט על כך ש-p מייצג ההסתברות לזכות ב-10 נקודות, ומתקיים 2p^2 - 1.6p + 0.3 = 0, חשב את ערך p האפשרי על פי תנאי השאלה.
רמז: פתור את המשוואה הריבועית ושים לב לתנאי p>0.4
פתרון מלא
תשובה סופית: p=0.5
משליכים את המשוואה 2p^2 - 1.6p + 0.3 = 0. הפתרונות הם p=0.3 ו-p=0.5. לפי התנאי p>0.4, הפתרון התקף הוא p=0.5.
הסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים
רמת קושי: בינוני
במשחק עם הסתברויות נודעות לזכייה של 10, 15, ו-30 נקודות, ההסתברות לזכות ב-30 נקודות היא 0.2. אם ההסתברות לזכות בשני משחקים רצופים בסכום של 25 נקודות היא 0.3, חשב את ההסתברות לזכות ב-15 נקודות.
רמז: הסתברות לזכות ב-15 נקודות היא 0.8 פחות p, כאשר p הוא ההסתברות לזכות ב-10 נקודות שנמצא כ-0.5.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.3
נמצא ש-p=0.5 (הסתברות לזכות 10 נקודות). לכן ההסתברות לזכות 15 נקודות היא 0.8 - 0.5 = 0.3.
הסתברות לזכות ב-50 נקודות בשלושה משחקים רצופים
רמת קושי: מאתגר
חשב את ההסתברות לזכות בסכום של 50 נקודות בשלושה משחקים רצופים, כאשר ההסתברויות לזכות 30, 15, ו-10 נקודות במשחק בודד הן 0.2, 0.3 ו-0.5 בהתאמה.
רמז: חשב את האפשרויות לפריסה של 30, 10 ו-10 בשלושת המשחקים, והכפל באפשרות של סידורים - 3.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.15
האפשרויות הן לזכות 30 נקודות במשחק אחד ו-10 נקודות בשניים אחרים. ההסתברות לכל אפשרות היא 0.2 * 0.5 * 0.5 = 0.05. מכיוון שיש 3 סידורים, ההסתברות הכוללת היא 0.05 * 3 = 0.15.
הסתברות של כל היותר שחקן אחד בינואר מחמש
רמת קושי: בגרות
בחמישה אנשים המשחקים במשחק הנ"ל, מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם יזכה בסכום כולל של 50 נקודות? השתמש בפירוק בינומי.
רמז: חשב את ההסתברות לאף אחד לא לזכות (0 הצלחות) ואחד יזכה בדיוק (1 הצלחה), וסכום התוצאות.
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-0.835
ההסתברות שאדם לא יזכה היא 0.85, שיזכה היא 0.15. משתמשים בנוסחה: P = C(5,0)*0.15^0*0.85^5 + C(5,1)*0.15^1*0.85^4 = 0.4437 + 0.3915 = 0.8352 (בקירוב).
דרך הפתרון
חישוב p במשוואה ריבועית
פתרון משוואה ריבועית בהסתברויות במשחק
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערכת ערך p
- נתון 1
נתון 1
הסתברות לזכות 30 נקודות = 0.2 - נתון 2
נתון 2
הסתברות לזכות שני משחקים רצופים בסכום 25 נקודות = 0.3 - נתון 3
נתון 3
p = הסתברות לזכות 10 נקודות - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשוואה ריבועית המייצגת את ההסתברות ולפתור אותה לפי התנאים.
- נוסחה
פשט את המשוואה כדי לקבל משוואה ריבועית תקנית.
2p^2 - 1.6p + 0.3 = 02p^(2) - 1.6p + 0.3 = 0 - משוואה
חשב את שורשי המשוואה והשלם תנאי תחום p.
חשב את שורשי המשוואה והשלם תנאי תחום p.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת משתנים ונתונים
זיהוי נתונים
הגדרת משתנים ונתונים
מה עושים
קבע את p כהסתברות לזכות ב-10 נקודות והגדר הסתברות 15 נקודות כ-0.8-p.
למה
משחק הבחירה מאפשר סכום הסתברויות שווה ל-1.
בהינתן: הסתברות לזכות 30 = 0.2, ההסתברויות האחרות נגזרות מ-p.
זכור שסכום ההסתברויות חייב להיות 1.
2בחירת שיטה
הגדרת המשוואה להסתברות לשני משחקים ב-25
בחירת שיטה
הגדרת המשוואה להסתברות לשני משחקים ב-25
מה עושים
בנה משוואה ריבועית המתארת את ההסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים רצופים.
למה
25 נקודות מתקבלות רק כשאחד משחק זוכה ב-10 והשני ב-15, בשני הסדרים.
משוואת ההסתברות: 2*p*(0.8-p) = 0.3.
חשוב להכיר את כל האפשרויות שיוצרות את הסכום 25.
3בניית משוואה
פישוט המשוואה
בניית משוואה
פישוט המשוואה
מה עושים
פשט את המשוואה כדי לקבל משוואה ריבועית תקנית.
למה
להקל על פתרון המשוואה באמצעות נוסחאות מתמטיות ידועות.
התוצאה היא: 2p^2 - 1.6p + 0.3 = 0.
נוסחה / הצבה
2p^2 - 1.6p + 0.3 = 02p^(2) - 1.6p + 0.3 = 0בדוק שכל המקדמים נכונים.
4פתרון
פתרון המשוואה
פתרון
פתרון המשוואה
מה עושים
חשב את שורשי המשוואה והשלם תנאי תחום p.
למה
ישנם שני פתרונות, אחד מהם פסול לפי התנאי p > 0.4.
השורשים הם p=0.3 ו-p=0.5, כאשר p=0.5 מתאים לתנאי.
התעלם מהשורש שאינו בתחום ההגדרה.
5תשובה
קביעת ערך p הסופי
תשובה
קביעת ערך p הסופי
מה עושים
בחר את ערך p המתאים לפי תוצאות הפתרון והנחות השאלה.
למה
p מייצג הסתברות ולכן חייב להתאים לתנאים ולמשמעות הבעיה.
p = 0.5 היא ההסתברות לזכות ב-10 נקודות.
אל תשכח לבדוק האם p הוא בין 0 ל-1.
פתרונות כלליים
- חישוב p במשוואה ריבועית: משליכים את המשוואה 2p^2 - 1.6p + 0.3 = 0. הפתרונות הם p=0.3 ו-p=0.5. לפי התנאי p>0.4, הפתרון התקף הוא p=0.5.
- הסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים: נמצא ש-p=0.5 (הסתברות לזכות 10 נקודות). לכן ההסתברות לזכות 15 נקודות היא 0.8 - 0.5 = 0.3.
- הסתברות לזכות ב-50 נקודות בשלושה משחקים רצופים: האפשרויות הן לזכות 30 נקודות במשחק אחד ו-10 נקודות בשניים אחרים. ההסתברות לכל אפשרות היא 0.2 * 0.5 * 0.5 = 0.05. מכיוון שיש 3 סידורים, ההסתברות הכוללת היא 0.05 * 3 = 0.15.
- הסתברות של כל היותר שחקן אחד בינואר מחמש: ההסתברות שאדם לא יזכה היא 0.85, שיזכה היא 0.15. משתמשים בנוסחה: P = C(5,0)*0.15^0*0.85^5 + C(5,1)*0.15^1*0.85^4 = 0.4437 + 0.3915 = 0.8352 (בקירוב).