וידאו · הסתברות
ג4. הסתברות תרגיל מהבגרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בהבנת הסתברות של אירועים בדגימות עם החזרה, הסתברות מותנית ומחולל המצבים המשולבים בקובייה וכדורים בשקיות.
- להבין ולהשתמש בהסתברות בדגימות עם החזרה
- לחשב הסתברות להוצאה של אירועים מסוימים עם חזרות
- להבין ולחשב הסתברות מותנית
- ליישם את חוקי ההסתברות במקרה של מצבי בחירה בין שקיות בתלות בתוצאה בקובייה
- הגדרת הבעיה והנתונים: הכרת מספר הכדורים בכל כד וסוגיהם, ותהליך ההוצאה שלהם עם החזרת הכדור לאחר כל הפקה.
- חישוב ההסתברות להוצאה מדויקת של כדורים שחורים: חישוב ההסתברות שהוצאה של כדורים שחורים תתרחש בדיוק 3 פעמים מתוך 5 הוצאות, כדוגמה לכינוס הסתברויות בינומיאליות.
- הסתברות מותנית בשילוב קובייה ובחירת כדורים: הסבר על הסתברות מותנית במצב שבו הבחירה בין הכדורים תלויה בתוצאה של גלגול קובייה.
תרגול קצר
הסתברות להוציא בדיוק 3 כדורים שחורים מחמש הוצאות מכד שני
רמת קושי: קל
כד שני מכיל 4 כדורים שחורים ו-6 לבנים. דנה מוציאה 5 כדורים עם החזרה. חשבו את ההסתברות שדנה תוציא בדיוק 3 כדורים שחורים.
רמז: השתמשו בהתפלגות בינומיאלית עם p = הסתברות להוציא שחור מכד שני.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.2304
הסתברות להוציא כדור שחור בכד השני היא 4/10=0.4. נרצה ההסתברות בדיוק 3 פעמים מתוך 5: P = C(5,3) * (0.4)^3 * (0.6)^2 חשב את זה כדי לקבל את התוצאה הסופית.
הסתברות להוציא 3 שחורים כאשר הבחירה בכד תלויה בתוצאה של קובייה
רמת קושי: בינוני
דנה זורקת קובייה: אם התוצאה ≤ 2, היא משתמשת בכד ראשון (6 שחורים, 4 לבנים), אחרת בכד שני (4 שחורים, 6 לבנים). היא מוציאה 5 פעמים כדור עם החזרה מהכד שבחרה בהתאם לכל גלגול מחדש. מה ההסתברות שהיא תקבל בדיוק 3 כדורים שחורים?
רמז: חשוב לחשב את ההסתברות להוציא 3 שחורים בתנאי כל אחד מהכדים ואחר כך לשקלל לפי ההסתברות לפנות לכד.
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-0.34 (כדי לבדוק חישוב מדויק יש לחשב את הביטוי המספרי)
הסתברות פנייה לכד ראשון היא 2/6=1/3. הסתברות פנייה לכד שני היא 4/6=2/3. הסתברות להוציא 3 שחורים בכד ראשון היא: P1 = C(5,3)*(0.6)^3*(0.4)^2 הסתברות להוציא 3 שחורים בכד שני היא: P2 = C(5,3)*(0.4)^3*(0.6)^2 ההסתברות הכוללת היא: P = (1/3)*P1 + (2/3)*P2 חשוב לבצע את החישובים בלי לצמצם לפני הסוף.
הסתברות מותנית וזיהוי הסתברות חדשה לאחר אירוע ידוע
רמת קושי: מאתגר
ידוע שדנה הוציאה בדיוק 3 כדורים שחורים מתוך 5 הוצאות בהתאם לסעיף הקודם. חשבו את ההסתברות שהתוצאה בקובייה הייתה יותר מ-2 (כלומר פנייה לכד שני).
רמז: השתמשו בנוסחת הסתברות מותנית: P(כד שני | 3 שחורים) = P(כד שני ו-3 שחורים) / P(3 שחורים)
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-0.2688
הסתברות לפנייה לכד שני ולשלוש שחורים היא (2/6)*P2 שבו P2 כמו בחלק הקודם. ההסתברות הכוללת להוציא 3 שחורים היא P מהחלק הקודם. לכן: P(כד שני | 3 שחורים) = ((2/6)*P2) / P חשב את ההסתברות המספרית בהתאם.
דרך הפתרון
כיצד לחשב הסתברות להוציא בדיוק 3 כדורים שחורים ב-5 הוצאות מכד שני
דנה מוציאה כדורים עם החזרה מכד שני המכיל 4 שחורים ו-6 לבנים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ההסתברות להוציא בדיוק 3 כדורים שחורים מתוך 5
- נתון 1
כד שני: 4 כדורים שחורים, 6 כדורים לבנים
- נתון 2
כל הוצאה עם החזרה
- נתון 3
5 הוצאות בסך הכל
- רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בהתפלגות בינומיאלית עם p = 4/10 להסתברות להוציא כדור שחור.
- נוסחה
הסתברות להוציא כדור שחור מכד שני היא 4 מתוך 10.
p = 4 / 10 = 0.4p = 4/10 - משוואה
השתמש בנוסחה: C(5,3) * p^3 * (1-p)^{5-3}
השתמש בנוסחה: C(5,3) * p^3 * (1-p)^{5-3}
P = C(5,3) * p^3 * (1-p)^2P = C(5,3)*p^3*(1-p)^2P = 53 p^3 (1-p)^2 - פישוט
חשב C(5,3)=10, חשב את p^3 ו-(1-p)^2 והכפל.
חשב C(5,3)=10, חשב את p^3 ו-(1-p)^2 והכפל.
P = 10 * 0.4^3 * 0.6^2
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדר את ההסתברות להוציא כדור שחור
זיהוי נתונים
הגדר את ההסתברות להוציא כדור שחור
מה עושים
הסתברות להוציא כדור שחור מכד שני היא 4 מתוך 10.
למה
מספר הכדורים השחורים ביחס לסך הכדורים בכד השני.
נוסחה / הצבה
p = 4 / 10 = 0.4p = 4/10ההסתברות נשארת קבועה כי עם החזרה.
2בחירת שיטה
זהה את סוג ההתפלגות
בחירת שיטה
זהה את סוג ההתפלגות
מה עושים
הקדיש לעצמך את מספר הוצאות ו'הצלחות' רצויות.
למה
התהליך הוא ניסויים עצמאיים עם הסתברות קבועה.
מדובר בהתפלגות בינומיאלית.
3בניית משוואה
כתוב את נוסחת ההסתברות
בניית משוואה
כתוב את נוסחת ההסתברות
מה עושים
השתמש בנוסחה: C(5,3) * p^3 * (1-p)^{5-3}
למה
זוהי נוסחת ההתפלגות הבינומיאלית להסתברות לקבל k הצלחות מתוך n ניסויים.
נוסחה / הצבה
P = C(5,3) * p^3 * (1-p)^2P = C(5,3)*p^3*(1-p)^2P = 53 p^3 (1-p)^2C(5,3) הוא מספר הדרכים לבחור 3 מתוך 5.
4פתרון
חשב את הערך
פתרון
חשב את הערך
מה עושים
חשב C(5,3)=10, חשב את p^3 ו-(1-p)^2 והכפל.
למה
כדי לקבל את ההסתברות המדויקת.
נוסחה / הצבה
P = 10 * 0.4^3 * 0.6^2חשוב לא לצמצם לפני חישוב סופי.
5תשובה
קבל את התוצאה הסופית
תשובה
קבל את התוצאה הסופית
מה עושים
הערך המתקבל הוא כ-0.2304
למה
זו ההסתברות להביא בדיוק 3 כדורים שחורים מתוך 5 הוצאות עם החזרה.
הסבר פשוט וברור חשוב להבנה.
פתרונות כלליים
- הסתברות להוציא בדיוק 3 כדורים שחורים מחמש הוצאות מכד שני: הסתברות להוציא כדור שחור בכד השני היא 4/10=0.4. נרצה ההסתברות בדיוק 3 פעמים מתוך 5: P = C(5,3) * (0.4)^3 * (0.6)^2 חשב את זה כדי לקבל את התוצאה הסופית.
- הסתברות להוציא 3 שחורים כאשר הבחירה בכד תלויה בתוצאה של קובייה: הסתברות פנייה לכד ראשון היא 2/6=1/3. הסתברות פנייה לכד שני היא 4/6=2/3. הסתברות להוציא 3 שחורים בכד ראשון היא: P1 = C(5,3)*(0.6)^3*(0.4)^2 הסתברות להוציא 3 שחורים בכד שני היא: P2 = C(5,3)*(0.4)^3*(0.6)^2 ההסתברות הכוללת היא: P = (1/3)*P1 + (2/3)*P2 חשוב לבצע את החישובים בלי לצמצם לפני הסוף.
- הסתברות מותנית וזיהוי הסתברות חדשה לאחר אירוע ידוע: הסתברות לפנייה לכד שני ולשלוש שחורים היא (2/6)*P2 שבו P2 כמו בחלק הקודם. ההסתברות הכוללת להוציא 3 שחורים היא P מהחלק הקודם. לכן: P(כד שני | 3 שחורים) = ((2/6)*P2) / P חשב את ההסתברות המספרית בהתאם.