MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ו2. פרופורציה ודמיון משפט חוצה זווית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
31 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה5. גיאומטריה המעגל

וידאו

ה6. גיאומטריה המעגל

וידאו

ה7. גיאומטריה המעגל

וידאו

ו1. פרופורציה ודמיון משפט תאלס

וידאו

ו2. פרופורציה ודמיון משפט חוצה זווית

וידאו

ו3. פרופורציה ודמיון משפטי דמיון

וידאו

ו4. פרופורציה ודמיון משפטי אוקלידס

וידאו

ו5. פרופורציה ודמיון מפגש גבהים

וידאו

ו6. פרופורציה ודמיון פרופורציות במעגל

וידאו

ו7. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו8. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו9. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו10. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו11. פרופורציה ודמיון

סיכום שיעור

  • הסבר מפורט על משפט חוצה זווית והשימושים שלו בגיאומטריה, כולל הוכחות לשוויון מקטעים והקבלה בין מקבילות באמצעות משפט טלס.
  • להבין ולהשתמש במשפט חוצה זווית לפתירת בעיות פרופורציה בגיאומטריה.
  • לזהות מתי קטע הוא חוצה זווית ולהשתמש בכך לכתיבת יחס בין צלעות.
  • להוכיח שוויונות בין מקטעים והקבלות מקבילות באמצעות משפט טלס והגדרות הפרופורציה.
  • לנתח משולשים עם חוצי זווית ותיכונים ולשלב ביניהם לפתרון בעיות.
  • להבין ולהסביר כיצד זוויות מתחלפות בתורות ישרים מקבילים משפיעות על שוויון מקטעים.
  • משפט חוצה זווית: הצגת משפט חוצה זווית והקשר לפרופורציות בין צלעות במשלוש המחולק על ידי חוצה זווית.
  • הוכחות וגיאומטריה מורכבת: שילוב חוצה זווית ותיכון בהוכחות הקבלה בין מקטעים ומקבילות במשולשים.

תרגול קצר

מציאת מקטעים במשולש עם חוצה זווית

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC, AD חוצה זווית. אם AB = 3, AC = 5, ו-DC = 12, חשב את BD.

חוצה זוויתפרופורציה

רמז: השתמש במשפט חוצה זווית שיחבר בין היחסים AB ל-AC ו-BD ל-DC.

פתרון מלא

תשובה סופית: 4.5

משפט חוצה זווית קובע ש-AB/AC = BD/DC. לכן 3/5 = BD/12 - BD. נכפול ונסדר: 3*(12 - BD) = 5*BD → 36 - 3BD = 5BD → 36 = 8BD → BD = 4.5

הוכחת מקביליות ושוויון מקטעים

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש שבו AD הוא תיכון, DF ו-DE הם חוצי זווית. הוכח כי FE מקביל ל-BC ו-FG שווה ל-GB.

תיכוןחוצה זוויתמשפט טלסמקביליותהוכחה

רמז: נצל את משפט חוצה זווית למשולש והשתמש במשפט טלס ההפוך כדי להסיק על מקבילות והקבלה בין מקטעים.

פתרון מלא

תשובה סופית: FE מקביל ל-BC, FG שווה ל-GB

1. מגדירים X כמקטע BD=DC. 2. מיישמים את יחס הצלעות לפי חוצה זווית: AD/DB = AF/FB. 3. משתמשים בפרופורציות להראות שהיחסים בין AF ל-FB ו-AE ל-EC שווים. 4. לפי משפט טלס ההפוך, קטע FE מקביל ל-BC. 5. תוך ניצול זוויות מתחלפות בין FE ו-BC, ניתן להוכיח ש-FG=GB.

הוכחה משולבת של מקבילות ושוויון קטעים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח בשתי גישות שונות כי הקטע FG במשולש נתון שווה לקטע GB, כאשר FG ו-GE מקבילים לקווים אחרים במשולש ומבוצעים חוצי זווית ותיכונים במשולש.

הוכחה מתקדמתמקביליותחוצה זוויתתיכוןמשפט טלס

רמז: השתמש בזוויות מתחלפות, הפרופורציות שנוצרות מחוצי הזווית ותיכון, ומשפט טלס.

פתרון מלא

תשובה סופית: FG = GB

גישה ראשונה: 1. נצא מהנחה ש-FG מקביל ל-BD ו-GE מקביל ל-DC. 2. נרשום את הפרופורציות FG/X = AG/AD ו-GE/X = AG/AD. 3. נובע ש-FG = GE. גישה שנייה: 1. נבחנו זוויות מתחלפות בזכות המקבילות. 2. הזוויות השוות יוצרות משולש שווה שוקיים. 3. מכאן נובע שהקטעים שווים. כך הוכחנו בשתי דרכים שונים ש-FG=GB.

שאלה טיפוסית לבגרות במשפט חוצה זווית

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC, AD חוצה זווית ו-DC = 12. אם היחס AB ל-AC הוא 3 ל-5, חשב את BD.

בגרותחוצה זוויתפרופורציה

רמז: השתמש במשפט חוצה זווית שמקשר בין AB ל-AC ל-BD ול-DC.

פתרון מלא

תשובה סופית: 4.5

משתמשים במשפט חוצה זווית: AB/AC = BD/DC. נתון AB/AC=3/5, DC=12 ולכן BD/(12 - BD) = 3/5. מכאן לפתור את המשוואה: 3*(12 - BD) = 5*BD → 36 - 3BD = 5BD → 36 = 8BD → BD = 4.5.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הסבר מפורט לפתירת תרגיל חוצה זווית בסיסי

חישוב מקטע באמצעות יחס חוצה זווית במשולש

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא אורך המקטע BD

  2. נתון 1

    נתון 1

    AB = 3
  3. נתון 2

    נתון 2

    AC = 5
  4. נתון 3

    נתון 3

    DC = 12
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש במשפט חוצה זווית שמקשר בין היחסים AB/AC ו-BD/DC כדי לכתוב משוואה ולפתור אותה.

  6. נוסחה

    הצבת הערכים במשוואה ליצירת משוואה עם המשתנה BD.

    3 / 5 = BD / (12 - BD)
  7. משוואה

    נכפיל כל צד ונפשט את המשוואה כדי למצוא את BD.

    נכפיל כל צד ונפשט את המשוואה כדי למצוא את BD.

    3 * (12 - BD) = 5 * BD36 - 3BD = 5BD36 = 8BDBD = 4.5
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים בסיסיים

מה עושים

רשום את אורכי הצלעות ונתון חוצה הזווית.

למה

הנתונים הם הבסיס לבניית המשוואה בהתאם למשפט חוצה זווית.

AB=3, AC=5, DC=12, AD הוא חוצה זווית.

2

בחירת שיטה

הבנת משפט חוצה זווית

מה עושים

הבין ש-AB ל-AC בפרופורציה שווה ל-BD ל-DC.

למה

משפט זה נותן יחס ישר בין הצלעות במשלוש המחולק על ידי חוצה הזווית.

AB/AC = BD/DC

נוסחה / הצבה

AB / AC = BD / DC

המשפט מבוסס על יחס פרופורציונלי בין המקטעים.

3

בניית משוואה

בניית משוואה לפרופורציה

מה עושים

הצבת הערכים במשוואה ליצירת משוואה עם המשתנה BD.

למה

לפתור את הערך המבוקש של BD.

משוואה: 3 / 5 = BD / (12 - BD)

נוסחה / הצבה

3 / 5 = BD / (12 - BD)

הקפד להפוך את הנוסחה בהתאם להגדרות.

4

פתרון

פתור את המשוואה

מה עושים

נכפיל כל צד ונפשט את המשוואה כדי למצוא את BD.

למה

מטרת הפישוט היא לבודד את המשתנה BD ולחשב אותו.

3 * (12 - BD) = 5 * BD → 36 - 3BD = 5BD → 36 = 8BD → BD = 4.5

נוסחה / הצבה

3 * (12 - BD) = 5 * BD36 - 3BD = 5BD36 = 8BDBD = 4.5

נחלק ב-8 לאחר איסוף הביטויים.

5

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

מסקנה לגבי אורך BD מתוך הפתרון.

למה

זהו הפתרון השלם לשאלה.

BD = 4.5

נוסחה / הצבה

BD = 4.5

פתרונות כלליים

  • מציאת מקטעים במשולש עם חוצה זווית: משפט חוצה זווית קובע ש-AB/AC = BD/DC. לכן 3/5 = BD/12 - BD. נכפול ונסדר: 3*(12 - BD) = 5*BD → 36 - 3BD = 5BD → 36 = 8BD → BD = 4.5
  • הוכחת מקביליות ושוויון מקטעים: 1. מגדירים X כמקטע BD=DC. 2. מיישמים את יחס הצלעות לפי חוצה זווית: AD/DB = AF/FB. 3. משתמשים בפרופורציות להראות שהיחסים בין AF ל-FB ו-AE ל-EC שווים. 4. לפי משפט טלס ההפוך, קטע FE מקביל ל-BC. 5. תוך ניצול זוויות מתחלפות בין FE ו-BC, ניתן להוכיח ש-FG=GB.
  • הוכחה משולבת של מקבילות ושוויון קטעים: גישה ראשונה: 1. נצא מהנחה ש-FG מקביל ל-BD ו-GE מקביל ל-DC. 2. נרשום את הפרופורציות FG/X = AG/AD ו-GE/X = AG/AD. 3. נובע ש-FG = GE. גישה שנייה: 1. נבחנו זוויות מתחלפות בזכות המקבילות. 2. הזוויות השוות יוצרות משולש שווה שוקיים. 3. מכאן נובע שהקטעים שווים. כך הוכחנו בשתי דרכים שונים ש-FG=GB.
  • שאלה טיפוסית לבגרות במשפט חוצה זווית: משתמשים במשפט חוצה זווית: AB/AC = BD/DC. נתון AB/AC=3/5, DC=12 ולכן BD/(12 - BD) = 3/5. מכאן לפתור את המשוואה: 3*(12 - BD) = 5*BD → 36 - 3BD = 5BD → 36 = 8BD → BD = 4.5.
הפריט הקודםהפריט הבא