MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ו4. פרופורציה ודמיון משפטי אוקלידס

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
33 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה7. גיאומטריה המעגל

וידאו

ו1. פרופורציה ודמיון משפט תאלס

וידאו

ו2. פרופורציה ודמיון משפט חוצה זווית

וידאו

ו3. פרופורציה ודמיון משפטי דמיון

וידאו

ו4. פרופורציה ודמיון משפטי אוקלידס

וידאו

ו5. פרופורציה ודמיון מפגש גבהים

וידאו

ו6. פרופורציה ודמיון פרופורציות במעגל

וידאו

ו7. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו8. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו9. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו10. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו11. פרופורציה ודמיון

סיכום שיעור

  • הסבר והוכחה של משפטי אוקלידס במשולש ישר זווית באמצעות דמיון משולשים וחיבור פרופורציות המתייחסות לגובה ליתר ולמידות הצלעות.
  • הבנת דמיון משולשים במשולש ישר זווית עם הגובה ליתר
  • שימוש בפרופורציות להוכחת משפטי אוקלידס
  • הבנת משפט הגובה ליתר והקשר בין צלעות המשולש
  • הוכחה והבנת משפטים מתמטיים באמצעות דמיון וזוויות
  • הדמיה ופרופורציות במשולש ישר זווית: בהתבסס על דמיון בין המשולש הראשי למשולשים הקטנים הנוצרים עם הגובה ליתר, נבנית פרופורציות בין הצלעות שמאפשרות להוכיח משפטים שונים.
  • משפט אוקלידס הראשון - הגובה ליתר: הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת חלקי היתר שנוצרו על ידי הגובה.
  • משפטי אוקלידס נוספים: פעולות דמיון וגניבת פרופורציות מאפשרות להוכיח משפטים נוספים כמו CA בריבוע = AD כפול AB ו-BC בריבוע = BD כפול AB.

תרגול קצר

הוכחת משפט הגובה ליתר

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ישר זווית ABC, ציירו את הגובה CD ליתר AB. הראו כי CD בריבוע שווה ל- AD כפול DB.

הוכחהדמיון משולשיםמשפט אוקלידס

רמז: הראו דמיון בין משולשים CDB ל-ABC ותשתמשו בפרופורציות המתאימות.

פתרון מלא

תשובה סופית: CD בריבוע = AD * DB

משולשים ABC ו-CDB דומים לפי זווית-זווית (זווית קבועה ו-90 מעלות). כתבו את הפרופורציות בין הצלעות המתאימות: AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB. הגנבת פרופורציות מראה CD בריבוע = AD * DB.

הוכחת משפט הצלע CA בריבוע

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש ישר זווית ABC עם הגובה CD ליתר AB, הוכיחו כי CA בריבוע שווה ל- AD כפול AB.

הוכחהדמיוןמשפט אוקלידס

רמז: השתמשו בדמיון בין משולשים ABC ו-ADC וכתבו את הפרופורציות בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: CA בריבוע = AD * AB

משולשים ABC ו-ADC דומים בגלל זווית 90 ואלפה מזוויות דומות. לפי דמיון, CA ל-AB שווה ל-AD ל-CA. גניבת פרופורציות מראה CA בריבוע = AD * AB.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת משפט הגובה ליתר

משפט אוקלידס הראשון במשולש ישר זווית

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא לחשב CD בריבוע ולקשרו ל-AD ול-DB

  2. נתון 1

    משולש ישר זווית ABC

  3. נתון 2

    גובה CD המונח ליתר AB

  4. נתון 3

    נקודות D, A, B על הישר AB

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הראו דמיון בין המשולשים CDB ל-ABC והשתמשו בפרופורציות לצורך המשוואה.

  6. נוסחה

    כפל שני אגפים ב-CD^2 והפוך למשוואה על CD בריבוע

    CD^2 = AD * DBCD^2 = AD x DB
  7. משוואה

    כתוב יחס בין AD ל-CD ושווה ל-CD ל-DB

    כתוב יחס בין AD ל-CD ושווה ל-CD ל-DB

    AD / CD = CD / DB
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון משולש ישר זווית וגובה

מה עושים

ציירו משולש ישר זווית ABC עם גובה CD ליתר AB

למה

כדי להבין את המבנה עליו נבצע דמיון ופרופורציות

משולש ישר זווית ABC, D הוא הנקודה שעל AB כך ש-CD ניצב על AB

הגובה יוצר שני משולשים קטנים בתוך המשולש הגדול

2

בחירת שיטה

הכרת דמיון המשולשים

מה עושים

זיהוי כי המשולשים CDB ו-ABC דומים לפי זווית-זווית

למה

דמיון זה מאפשר להציב פרופורציות בין הצלעות

משולש CDB ושמשולש ABC חולקים זוויות תואמות 90 מעלות וזווית אלפה

דמיון זווית-זווית הוא כלי מרכזי בגיאומטריה

3

בניית משוואה

רשום את הפרופורציות בין הצלעות

מה עושים

כתוב יחס בין AD ל-CD ושווה ל-CD ל-DB

למה

מהפרופורציות גוזרים את המשוואה הרצויה

AD חלקי CD שווה ל- CD חלקי DB

נוסחה / הצבה

AD / CD = CD / DB

חשוב לשים לב לסדר האותיות בפרופורציה

4

פתרון

בחר ונצא לנוסחה

מה עושים

כפל שני אגפים ב-CD^2 והפוך למשוואה על CD בריבוע

למה

לחזק את הקשר בין CD והקטעים AD ו-DB

CD בריבוע שווה ל-AD כפול DB

נוסחה / הצבה

CD^2 = AD * DBCD^2 = AD x DB

כך מגיעים למשפט אוקלידס מבוסס דמיון

פתרונות כלליים

  • הוכחת משפט הגובה ליתר: משולשים ABC ו-CDB דומים לפי זווית-זווית (זווית קבועה ו-90 מעלות). כתבו את הפרופורציות בין הצלעות המתאימות: AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB. הגנבת פרופורציות מראה CD בריבוע = AD * DB.
  • הוכחת משפט הצלע CA בריבוע: משולשים ABC ו-ADC דומים בגלל זווית 90 ואלפה מזוויות דומות. לפי דמיון, CA ל-AB שווה ל-AD ל-CA. גניבת פרופורציות מראה CA בריבוע = AD * AB.
הפריט הקודםהפריט הבא