וידאו · גיאומטריה
ו10. פרופורציה ודמיון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור העוסק בזיהוי ושימוש בפרופורציות בגיאומטריה, דרך ניתוח דמויות טרפז ושעון חול, והוכחת שוויון קטעים על ידי שימוש בפרופורציות ועקרונות דמיון.
- להבין ולהכיר מבנה טרפז עם שוקיים שווים וייצוג פונקציות פרופורציה בו
- ליישם את משפטי טלס ודמיון לצורך הצבה של יחסים בפרופורציה
- להוכיח שוויון בין קטעי ישר באמצעות פרופורציות והשוואה בין חתכי ישרים במקביל
- לפתח יכולת סימון מתמטי ברור של פרופורציות וגיאומטריה לתרגול והבנה טובה יותר
- המבנה של הטרפז ושעון החול: הקדמה למבנה טרפז שוקיים ויצירת צמתים המכונים 'שעוני חול' שבו נוצרים יחסים מקבילים בין קטעי ישר שונים.
- סימון פרופורציות ועקרונות טלס: שימוש בסימונים כמו AX, BX, AK, BK לייצוג קטעים וביסוס היחסים ביניהם באמצעות משפט טלס ופרופורציות.
- הוכחת שוויון קטעים: הדגמה כי אורך הקטעים כמו X ו-K שווים על ידי בניית משוואות ותפיסת פרופורציה נכונה.
תרגול קצר
הוכח ש-AT שווה ל-TB
רמת קושי: קל
בהינתן טרפז עם שוקיים שווים, הראה כי הקטע AT שווה בואורך ל-TB.
רמז: סמן פרופורציות בין קטעים מקבילים והשתמש במשפט טלס.
פתרון מלא
תשובה סופית: AT = TB
נזהה זוג פרופורציות המקיימות את AT/MC = BT/DM ונראה כי X שווה ל-K, ולכן AT=TB.
השוואת קטעים בשעון חול
רמת קושי: בינוני
בטרפז בחר נקודות וחלקים כך שיווצרו 'שעוני חול'. הראה כי DM שווה ל-MC.
רמז: השתמש בפרופורציות ובסימונים AX, BX, AK, BK ולאחר מכן השווה X ו-K.
פתרון מלא
תשובה סופית: DM = MC
באמצעות הצבה במשוואות לפי הפרופורציות שהוגדרו, הוכחנו כי X = K, לכן DM=MC.
הוכחת יחס פרופורציונלי בין כל קטעי הישר
רמת קושי: מאתגר
נתון טרפז עם סימונים ועקרונות פרופורציה כפי שנלמד בשיעור. בנה הוכחה מפורטת של היחס ABX בריבוע = ABK בריבוע.
רמז: הרכב משוואות מתוך הפרופורציות והשווה בין המלווים X ו-K כדי לבסס את השוויון.
פתרון מלא
תשובה סופית: ABX² = ABK²
על ידי שימוש בפרופורציות בין הקטעים ויישום הכפל, מגיעים לשוויון של X בריבוע = K בריבוע, ולכן ABX בריבוע = ABK בריבוע.
בחן הוכחה של יחס בשוקיים שווים
רמת קושי: בגרות
במשפט הבגרות, ברשותך טרפז עם שוקיים שווים, הצג הוכחה מפורטת כי X שווה ל-K.
רמז: נצל את הפרופורציה בין הקטעים וסימון נכון של הפרופורציות וטענות דמיון.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = K
הצגנו את הפרופורציות שחיברנו בין הקטעים השונים על פי סימוני AX, BX, AK, BK ומשפט טלס. הכפלנו והצלחנו לייצר את המשוואה X² = K². לכן X=K.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל: הוכח ש-AT שווה ל-TB
שימוש בפרופורציות ועקרונות דמיון בטרפז שוקיים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא לבצע הוכחה שמתייחסת ל-AT ו-TB ולגלות אם הם שווים
- נתון 1
טרפז עם בסיסים מקבילים AB ו-DC
- נתון 2
שוקיים שווים בטרפז
- נתון 3
סימון קטעי ישר שונים ב-AX, BX, AK, BK
- רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות יחס פרופורציונלי בין קטעים במבנה הטרפז, להשתמש במשפט טלס ולאחר מכן להשוות קטעים על ידי
- נוסחה
כתוב את המשוואות AT/MC = BT/DM = TP/PM והצג את השוויון בין X ו-K
AT / MC = BT / DM = TP / PM - משוואה
הכפל את הצדדים והראה כי X שווה ל-K
הכפל את הצדדים והראה כי X שווה ל-K
x^2 = k^2 - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הבנת המבנה ההתחלתי
זיהוי נתונים
הבנת המבנה ההתחלתי
מה עושים
נתון טרפז עם שוקיים שווים וחתכים שיוצרים שעוני חול
למה
המבנה מאפשר ליצור יחסים מקבילים בין קטעים ושימוש בפרופורציות
טרפז עם בסיסים AB ו-DC מקבילים ושוקיים שווים, שהופך את הקטעים ליחידות שניתן להשוות ביניהן
2בחירת שיטה
סימון פרופורציות
בחירת שיטה
סימון פרופורציות
מה עושים
סמן את הקטעים השונים כ-AX, BX, AK, BK ושאר הקטעים לפי הפרופורציות
למה
הסימון מאפשר להבהיר את היחסים בין הקטעים
על ידי סימון קטעים שונים, קל יותר לייצג יחס ופרופורציה במשוואות
הקפד לסמן את כל הקטעים במדויק
3בניית משוואה
הקמת משוואות פרופורציה
בניית משוואה
הקמת משוואות פרופורציה
מה עושים
כתוב את המשוואות AT/MC = BT/DM = TP/PM והצג את השוויון בין X ו-K
למה
יצירת משוואות מאפשרת לנתח את הקשרים בין קטעי הישר
השתמש במשפט טלס להצבת יחס יחסי בין הקטעים במבנה
נוסחה / הצבה
AT / MC = BT / DM = TP / PMזכור את חלוקת הקטעים לפי סימוניהם
4פתרון
השוואת המשתנים
פתרון
השוואת המשתנים
מה עושים
הכפל את הצדדים והראה כי X שווה ל-K
למה
השוואת המשתנים מאפשרת לומר שהקטעים שווים
הגע למשוואה פשוטה של X בריבוע = K בריבוע ובהמשך להסיק את השוויון
נוסחה / הצבה
x^2 = k^2פצל משוואות עם ריבוע כדי להפוך אותן לשוות
5תשובה
קבלת השוויון
תשובה
קבלת השוויון
מה עושים
מסקנה ש-AT שווה ל-TB
למה
שוויון המשתנים X ו-K מראה שהקטעים שווים
מכאן נובע כי הקטע AT הוא שווה באורכו ל-TB
נוסחה / הצבה
AT = TBפתרונות כלליים
- הוכח ש-AT שווה ל-TB: נזהה זוג פרופורציות המקיימות את AT/MC = BT/DM ונראה כי X שווה ל-K, ולכן AT=TB.
- השוואת קטעים בשעון חול: באמצעות הצבה במשוואות לפי הפרופורציות שהוגדרו, הוכחנו כי X = K, לכן DM=MC.
- הוכחת יחס פרופורציונלי בין כל קטעי הישר: על ידי שימוש בפרופורציות בין הקטעים ויישום הכפל, מגיעים לשוויון של X בריבוע = K בריבוע, ולכן ABX בריבוע = ABK בריבוע.
- בחן הוכחה של יחס בשוקיים שווים: הצגנו את הפרופורציות שחיברנו בין הקטעים השונים על פי סימוני AX, BX, AK, BK ומשפט טלס. הכפלנו והצלחנו לייצר את המשוואה X² = K². לכן X=K.