וידאו · גיאומטריה
ו11. פרופורציה ודמיון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- ה שיעור עוסק בזיהוי דמיון בין משולשים באמצעות פרופורציות של צלעות וחיבור לצלעות בפרופורציה, תוך הבנת הקשר בין זוויות שוות לצלעות פרופורציונליות.
- להבין מתי משולשים הם דומים באמצעות שיעור פרופורציה של הצלעות
- לזהות ולכתוב משוואות פרופורציה בין צלעות משולשים
- להוכיח שזוויות במשולשים דומות שוות בהתבסס על דמיון המשולשים
- לחשב אורך צלעות באמצעות פרופורציה ויחסים במשולשים דומים
- הצגת נתוני המשולשים: הצגת שני משולשים ABC ו-BCD, יחד עם נתוני אורכי הצלעות.
- זיהוי פרופורציות ודמיון: בדיקת יחס הצלעות בין המשולשים וזיהוי פרופורציות שוות לפי יחס 2 ל-3.
- הוכחת שוויון זוויות: הבהרת הקשר בין צלעות פרופורציונליות לזוויות שוות במשולשים דומים.
- חישוב אורך קטעים BE ו-CE: שימוש בדמיון נוסף בין משולשים לצורך מציאת אורכי הקטעים BE ו-CE דרך הצבת משוואות פרופורציה ופתירתן.
תרגול קצר
הוכחת דמיון בין שני משולשים
רמת קושי: קל
נתונים שני משולשים ABC ו-BCD כאשר AB=4, BC=6, AC=8, DC=9, DB=12. הוכח כי המשולשים דומים.
רמז: בדוק את יחס הצלעות בין שני המשולשים והראה שהיחסים שווים בכל הצלעות בהתאמה.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשולשים ABC ו-BCD דומים מאחר שכל הצלעות שלהם בפרופורציה שווה 2:3.
נחשב את יחס הצלעות AB ל-BC: 4/6 = 2/3 בדיקה יחס הצלעות BC ל-DC: 6/9 = 2/3 בדיקה יחס הצלעות AC ל-DB: 8/12 = 2/3 מכיוון שכל היחסים שווים = פרופורציה הצלעות נכונה מסקנה: המשולשים דומים.
חישוב אורכי קטעים במשולשים דומים
רמת קושי: בינוני
במשולש BCD מחולק על ידי נקודה E כך ש-BE = x ו-CE = y. נתון ש-BC=12. חשב את x ו-y בהינתן ש-משולש BEC דומה למשולש BAC ו-AC = 8, AB = 4.
רמז: השתמש בדמיון בין משולשים והצבת משוואות פרופורציה בין הצלעות המתאימות כדי למצוא את x ו-y.
פתרון מלא
תשובה סופית: BE = 4 ו-CE = 8
בהינתן משולשים BEC דומה ל-BAC לפי זווית זווית, לכן: BE / AB = EC / AC x / 4 = y / 8 גם ברור ש-x + y = BC = 12 נבודד y: y = 2x נציב במשוואה x + y = 12 x + 2x = 12 3x = 12 x = 4 y = 8
הוכחת שוויון זוויות בין משולשים דומים
רמת קושי: מאתגר
הוכח כי הזווית A במשולש ABC שווה לזווית DBC במשולש BCD בהתבסס על פרופורציות הצלעות שהוכחו קודם.
רמז: השתמש בכלל שוויון הזוויות במשולשים דומים וציין את הקשר בין הזוויות המתאימות במשולשים.
פתרון מלא
תשובה סופית: \u05D6\u05D5\u05D5\u05D9\u05EA A \u05D1\u05DE\u05E9\u05D5\u05DC\u05E9 ABC \u05E9\u05D5\u05D5\u05D4 \u05DC\u05D6\u05D5\u05D5\u05EA DBC \u05D1\u05DE\u05E9\u05D5\u05DC\u05E9 BCD \u05E9\u05D5\u05D0\u05D5 \u05E9\u05D5\u05D5\u05EA.
משולשים ABC ו-BCD דומים לפי צד-צד-צד כי הצלעות בפרופורציה 2 ל-3. כל זוג זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות. לאור כך, הזווית A במשולש ABC תואמת לזווית DBC במשולש BCD ולכן הן שוות.
התאמת יחסי הצלעות במשולשים דומים
רמת קושי: בגרות
נתון משולש ABC עם צלעות 4,6,8 ומשולש BCD עם צלעות 6,9,12. הוכח שהמשולשים דומים ומצא את היחס between AB ל-BC.
רמז: בדוק שכל הצלעות בפרופורציה שווה, ובחן את היחס שביניהם.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשולשים דומים ביחס פרופורציונלי של 2:3 בין כל הצלעות המתאימות.
AB=4 , BC=6 , DC=9 , DB=12 , AC=8 נבדוק פרופורציות: AB/BC=4/6=2/3 BC/DC=6/9=2/3 AC/DB=8/12=2/3 כל הצלעות בפרופורציה 2:3 לכן המשולשים דומים ביחס 2:3.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל דמיון משולשים
זיהוי דמיון באמצעות פרופורציות צלעות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא להוכיח שהמשולשים דומים / לחשב את יחס הפרופורציה בין הצלעות
- נתון 1
נתון 1
משולש ABC עם צלעות: AB=4, BC=6, AC=8 - נתון 2
נתון 2
משולש BCD עם צלעות: BC=6, DC=9, DB=12 - רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק את יחס הצלעות בהתאמה בין שני המשולשים ונראה אם כל הצלעות ביחס פרופורציונלי שווה.
- נוסחה
נכתוב את היחסים ונוודא שווים
AB / BC = BC / DC = AC / DB = 2 / 3AB/BC = BC/DC = AC/DB = 2/3(AB)/(BC) = (BC)/(DC) = (AC)/(DB) = (2)/(3) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מסקנת הדמיון מתקבלת בעקבות שוויון פרופורציות הצלעות
מסקנת הדמיון מתקבלת בעקבות שוויון פרופורציות הצלעות
- תוצאה
מסיימים בתשובה
נכין מסקנה סופית לגבי דמיון המשולשים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הצלעות במשולשים
זיהוי נתונים
הצלעות במשולשים
מה עושים
נקבל את אורכי הצלעות של שני המשולשים כנתונים מראש
למה
המידע הבסיסי לזיהוי פרופורציות במשולשים
AB=4, BC=6, AC=8 במשולש הראשון; BC=6, DC=9, DB=12 במשולש השני
2בחירת שיטה
הערכת פרופורציות הצלעות
בחירת שיטה
הערכת פרופורציות הצלעות
מה עושים
נבדוק אם היחס בין כל זוג צלעות מתאימות שווה
למה
פרופורציות שוות מעידות על דמיון משולשים
נחשב יחס AB ל-BC, BC ל-DC, AC ל-DB ונבדוק שווים
3בניית משוואה
יחסי צלעות מפורטים
בניית משוואה
יחסי צלעות מפורטים
מה עושים
נכתוב את היחסים ונוודא שווים
למה
לכתוב את היחסים באופן מתמטי ברור
AB/BC = 4/6 = 2/3 BC/DC = 6/9 = 2/3 AC/DB = 8/12 = 2/3
נוסחה / הצבה
AB / BC = BC / DC = AC / DB = 2 / 3AB/BC = BC/DC = AC/DB = 2/3(AB)/(BC) = (BC)/(DC) = (AC)/(DB) = (2)/(3)שימו לב שכל היחסים שווים
4פתרון
קבלת דמיון המשולשים
פתרון
קבלת דמיון המשולשים
מה עושים
מסקנת הדמיון מתקבלת בעקבות שוויון פרופורציות הצלעות
למה
משולשים בעלי כל הצלעות בפרופורציה שווה הם דומים
המשולשים ABC ו-BCD דומים בפרופורציה 2:3 בין הצלעות
5תשובה
סקירה מסכמת
תשובה
סקירה מסכמת
מה עושים
נכין מסקנה סופית לגבי דמיון המשולשים
למה
להדגים את ההבנה מסוף התהליך
המשולשים ABC ו-BCD הם דומים כי כל זוג צלעות מתאימות בניהם בפרופורציה שווה
פתרונות כלליים
- הוכחת דמיון בין שני משולשים: נחשב את יחס הצלעות AB ל-BC: 4/6 = 2/3 בדיקה יחס הצלעות BC ל-DC: 6/9 = 2/3 בדיקה יחס הצלעות AC ל-DB: 8/12 = 2/3 מכיוון שכל היחסים שווים = פרופורציה הצלעות נכונה מסקנה: המשולשים דומים.
- חישוב אורכי קטעים במשולשים דומים: בהינתן משולשים BEC דומה ל-BAC לפי זווית זווית, לכן: BE / AB = EC / AC x / 4 = y / 8 גם ברור ש-x + y = BC = 12 נבודד y: y = 2x נציב במשוואה x + y = 12 x + 2x = 12 3x = 12 x = 4 y = 8
- הוכחת שוויון זוויות בין משולשים דומים: משולשים ABC ו-BCD דומים לפי צד-צד-צד כי הצלעות בפרופורציה 2 ל-3. כל זוג זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות. לאור כך, הזווית A במשולש ABC תואמת לזווית DBC במשולש BCD ולכן הן שוות.
- התאמת יחסי הצלעות במשולשים דומים: AB=4 , BC=6 , DC=9 , DB=12 , AC=8 נבדוק פרופורציות: AB/BC=4/6=2/3 BC/DC=6/9=2/3 AC/DB=8/12=2/3 כל הצלעות בפרופורציה 2:3 לכן המשולשים דומים ביחס 2:3.