בשיעור זה נלמדים מושגי היסוד בגיאומטריה של המעגל, בעיקר מיקומו של המשיק למעגל, משפט הרדיוס המאונך למשיק, חפיפות משולשים הנוצרים מנקודה חיצונית, והמשפטים המובילים למסקנות על דלתון מיוחד ויחסים בזוויות ובמעגלים החוסמים.
להבין את הגדרת המשיק למעגל ונקודת ההשקה
להכיר את המשפט שלפיו הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
לזכור משפט חפיפות המשולשים שנוצרים מנקודה חיצונית עם שני משיקים למעגל
להסיק מסקנות על שוויון אורך המשיקים ויצירת דלתון מיוחד
להבין מהו דלתון בר חסימה וכיצד הקוטר והרדיוס של המעגל מתקשרים לדלתון זה
משיק ונקודת השקה: המשיק למעגל הוא קו הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד, נקראת נקודת השקה.
הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: רדיוס המעגל היוצא מנקודת המרכז לנקודת ההשקה הוא מאונך למשיק בנקודה זו.
חפיפות משולשים מנקודה חיצונית: אם מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים למעגל, נוצרות שתי משולשים חופפים.
דלתון מיוחד ויתרונותיו: המשולשים יוצרות דלתון בר חסימה עם זוויות ישרות, מה שמוביל למעגל חדש החוסם את הדלתון עם קוטר מתאים ורדיוס המשכי.

תרגול קצר

שוויון משיקים מנקודה חיצונית

רמת קושי: קל

ממתין

מנקודה חיצונית P למעגל יוצאים שני המשיקים PA ו-PB. הוכח ש-PA=PB.

גיאומטריהמשיקיםחפיפותמעגל

רמז: השתמש בנתון שהרדיוס מאונך למשיק ושים לב למשולשים שנוצרים.

פתרון מלא

תשובה סופית: PA = PB

נסמן את נקודות ההשקה A ו-B ואת מרכז המעגל O. הרדיוס OA ו-OB מאונכים למשיקים PA ו-PB בהתאמה. כך נקבל שני משולשים POA ו-POB עם צלע PO משותפת, זווית POA = זווית POB, והן כוללות זווית של 90 מעלות במרכז המעגל. לכן המשולשים חופפים לפי צלע זווית צלע (צ. זווית. צ). מהמשולשים החופפים עולה ש-PA=PB.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: שוויון אורכי המשיקים מנקודה חיצונית

הוכחה שמשיקים מנקודה חיצונית שווים באורכם

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכח ש-PA=PB
נתון 1
נקודה חיצונית P למעגל
נתון 2
שני משיקים PA ו-PB היוצאים מ-P לנקודות השקה A ו-B במעגל
נתון 3
מרכז המעגל O
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בחפיפות משולשים המורכבים מהרדיוס והמשיקים.
נוסחה
משולשים POA ו-POB כוללים צלע PO משותפת וזוויות ישרות בנקודת ההשקה
PO = POOA = OB (רדיוס)זווית POA = זווית POB = 90 מעלות
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
המשולשים שווים לפי צלע זווית צלע
המשולשים שווים לפי צלע זווית צלע

למה

מאפשר שימוש במשפט חפיפות משולשים

נוסחה / הצבה

PO = POOA = OB (רדיוס)זווית POA = זווית POB = 90 מעלות

פתרון

הוכחת חפיפות משולשים

מה עושים

המשולשים שווים לפי צלע זווית צלע

למה

חפיפות משולשים = שוויון אורכי המשיקים

פתרונות כלליים

שוויון משיקים מנקודה חיצונית: נסמן את נקודות ההשקה A ו-B ואת מרכז המעגל O. הרדיוס OA ו-OB מאונכים למשיקים PA ו-PB בהתאמה. כך נקבל שני משולשים POA ו-POB עם צלע PO משותפת, זווית POA = זווית POB, והן כוללות זווית של 90 מעלות במרכז המעגל. לכן המשולשים חופפים לפי צלע זווית צלע (צ. זווית. צ). מהמשולשים החופפים עולה ש-PA=PB.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה4. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכח ש-PA=PB

נקודה חיצונית P למעגל

שני משיקים PA ו-PB היוצאים מ-P לנקודות השקה A ו-B במעגל

מרכז המעגל O

הרעיון המרכזי

משולשים POA ו-POB כוללים צלע PO משותפת וזוויות ישרות בנקודת ההשקה

נבנה משוואה

המשולשים שווים לפי צלע זווית צלע

פתרון מפורט

לבדוק שוויון אורכי משיקים

מרכז המעגל ונקודות ההשקה

רדיוס מאונך למשיק

חפיפות משולשים POA ו-POB

משולשים עם צלעות וזווית ידועים

הוכחת חפיפות משולשים

פתרונות כלליים