השיעור מתמקד במשפטים חשובים בגיאומטריה של המעגל, כגון זהות זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל, תכונות מיתרים, ענכים ומרחקים במעגל, וחשיבות הוכחות והמשפט ההפוך במרובעים חסומים במעגל.
להבין וליישם את מושג הזוויות ההיקפיות במעגלים ובמרובעים חסומים במעגל
להוכיח שוויון זוויות היקפיות באמצעות חסימה במעגל
להכיר ולהשתמש במשפטי מיתרים וענכים במעגל
להבין וליישם את התכונות הגיאומטריות של מחלקי זוויות, תיכונים וענכים במעגל
להכיר ולזהות משוואות שוויון לאורך מיתרים ולרדת למסקנות גיאומטריות בהן
זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל: המרובע הוא חסום במעגל אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180 מעלות. במקרה זה, הזוויות שהן היקפיות על אותו הקשת או המתאר שוות אחת לשנייה.
מושגים על מיתרים, ענכים ומרחקים במעגל: מושגים כמו ענך למיתר, תיכונים והעובדה שהענך למיתר חוצה אותו, מאפשרים להוכיח שוויונות בין מיתרים המרוחקים שווה ממרכז המעגל.

תרגול קצר

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

במרובע ABCD חסום במעגל (כלומר, סכום הזוויות A ו-C הוא 180 מעלות). הוכח כי הזוויות D,A,C ו-D,B,C שוות.

גיאומטריהמעגליםמרובעים חסומים

רמז: חשוב להשתמש בכך שזוויות שסכומן 180 במרובע חסום מראות שהמרובע ניתן לחסום במעגל. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות.

פתרון מלא

תשובה סופית: \angle D,A,C = \angle D,B,C

מאחר ש-\angle A + \angle C = 180 מעלות, המרובע ABCD חסום במעגל. לכן, הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל, \angle D,A,C ו-\angle D,B,C, הן שוות.

הוכח שקווים במעגל שווים באמצעות ענך למיתר

רמת קושי: בינוני

ממתין

במעגל נתון, שני מיתרים שנופלים ממרכז המעגל עם ענכים למיתרים. הראה שהמיתרים שווים אם המרחקים ממרכז המעגל אל המיתרים שווים.

גיאומטריהמיתריםמעגלים

רמז: דע שאם המרחקים ממרכז המעגל למיתר שווים, אז המיתרים שווים, והשתמש במשפט חפיפה צלע צלע זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: אם המרחקים ממרכז המעגל למיתרים שווים, אז המיתרים שווים

הענכים למיתרים חוצים את המיתרים, יוצרים משולשים שווי שוקיים וחופפים על סמך צלע צלע זווית. לכן, המרחקים שווים פירושם שהמיתרים שווים באורך.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל

יישום משפט זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח כי \angle D,A,C = \angle D,B,C
נתון 1
מרובע ABCD לא טרפז כלשהו
נתון 2
נתון 2
A = 70 מעלות
נתון 3
נתון 3
C = 110 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בעובדה שהמרובע חסום במעגל ולזהות זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ולהראות שהן שוות.
נוסחה
סכום הזוויות A ו-C הוא 70 + 110 = 180 מעלות
זווית A פלוס זווית C שווה 180 מעלותA + C = 180 מעלותA + C = 180^()
משוואה
הזוויות D,A,C ו-D,B,C הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת במעגל
הזוויות D,A,C ו-D,B,C הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת במעגל
פישוט
\angle D,A,C = \angle D,B,C
\angle D,A,C = \angle D,B,C
זו הזווית D,A,C שווה לזווית D,B,CD,A,C = D,B,C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הזוויות A ו-C ידועות

מה עושים

סכום הזוויות A ו-C הוא 70 + 110 = 180 מעלות

למה

זה מאפשר לדעת שהמרובע חסום במעגל

נתון שסכום זוויות נגדיות ב-ABCD הוא 180 מעלות

נוסחה / הצבה

זווית A פלוס זווית C שווה 180 מעלותA + C = 180 מעלותA + C = 180^()

בחירת שיטה

מרובע חסום במעגל

מה עושים

מאחר שסכום הזוויות נגדיות 180, המרובע ABCD חסום במעגל

למה

מרובע חסום במעגל מאפשר להיעזר בזוויות היקפיות

מרובע ABCD חסום במעגל ולכן ישנה קשת להשענות הזוויות ההיקפיות

בחן הידיעה שכל מרובע עם זוויות נגדיות שסכומן 180 הוא חסום במעגל

בניית משוואה

זוויות היקפיות על אותה קשת

מה עושים

הזוויות D,A,C ו-D,B,C הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת במעגל

למה

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

מסקנה מהגיאומטריה של המעגל לגבי הזוויות

השתמש בזוויות היקפיות המוגדרות במעגל

פתרון

שוויון הזוויות

מה עושים

\angle D,A,C = \angle D,B,C

למה

כי זוויות היקפיות על אותה קשת שוות

מסקנה ישירה מהצעד הקודם

נוסחה / הצבה

זו הזווית D,A,C שווה לזווית D,B,CD,A,C = D,B,C

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

הזוויות D,A,C ו-D,B,C שוות במרובע חסום במעגל ABCD

למה

הוכחנו את השוויון המבוקש

המשימה הושלמה

פתרונות כלליים

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל: מאחר ש-\angle A + \angle C = 180 מעלות, המרובע ABCD חסום במעגל. לכן, הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל, \angle D,A,C ו-\angle D,B,C, הן שוות.
הוכח שקווים במעגל שווים באמצעות ענך למיתר: הענכים למיתרים חוצים את המיתרים, יוצרים משולשים שווי שוקיים וחופפים על סמך צלע צלע זווית. לכן, המרחקים שווים פירושם שהמיתרים שווים באורך.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה3. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח כי \angle D,A,C = \angle D,B,C

מרובע ABCD לא טרפז כלשהו

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

סכום הזוויות A ו-C הוא 70 + 110 = 180 מעלות

הזוויות D,A,C ו-D,B,C הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת במעגל

\angle D,A,C = \angle D,B,C

פתרון מפורט

הזוויות A ו-C ידועות

מרובע חסום במעגל

זוויות היקפיות על אותה קשת

שוויון הזוויות

תוצאה סופית

פתרונות כלליים