השיעור עוסק בהגדרת המעגל, אזוריו השונים, רדיוס וקוטר, משולשים במעגל שווי שוקיים ושווי צלעות, שטח והיקף המעגל, גזרה מעגלית, חישוב שטח והיקף גזרה מעגלית, ומדידת קשתות במעגל באמצעות הזווית המרכזית ואורך הקשת.
להבין מהו מעגל ומרכיביו: מרכז, רדיוס, קוטר, פנים המעגל, הקף וחוץ המעגל.
להכיר משולשים במעגל ואופיים (שווי שוקיים, שווי צלעות).
לדעת לחשב שטח והיקף מעגל וגזרה מעגלית בהתאם לזווית המרכזית והרדיוס.
להבין כיצד מודדים אורך קשת באמצעות הזווית המרכזית והיקף המעגל.
ליישם את הנוסחאות וההגדרות לפתרון בעיות גיאומטריות במעגל.
הגדרת המעגל: המעגל הוא קבוצת נקודות במישור שמרחקן ממרכז המעגל הוא רדיוס קבוע.
רדיוס, קוטר ומשולשים במעגל: רדיוס הוא מקטע ממרכז המעגל להקף. חיבור שני רדיוסים יוצר משולש שווי שוקיים, והקוטר הוא מקטע דרכו עובר המרכז באורך פי 2 מהרדיוס.
שטח והיקף מעגל וגזרה מעגלית: השטח של המעגל הוא פאי ריבוע הרדיוס, וההיקף הוא 2 פאי רדיוס. שטח גזרה מעגלית תלוי בזווית המרכזית α והיקף הגזרה כולל את שני רדיוסיה ואורך הקשת המתאים.
מדידת קשתות במעגל: אורך קשת במעגל מחושב לפי פרופורציה של הזווית המרכזית לחלקי 360 מעלות מההיקף.

תרגול קצר

חישוב היקף מעגל רדיוס 3

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את היקף מעגל שרדיוסו 3 יחידות.

מעגלהיקףרדיוס

רמז: ההיקף הוא 2 כפול פאי כפול הרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 6π

היקף = 2 × π × 3 = 6π

שטח מעגל רדיוס 4

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את שטח מעגל שהרדיוס שלו 4 יחידות.

מעגלשטחרדיוס

רמז: שטח מעגל הוא פאי כפול ריבוע הרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 16π

שטח = π × 4² = 16π

שטח גזרה מעגלית בזווית 90 מעלות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מעגל רדיוסו 6. חשב את שטח הגזרה המעגלית שזווית המרכז שלה היא 90 מעלות.

גזרה מעגליתשטח

רמז: שטח גזרה = (α/360) × שטח המעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: 9π

שטח המעגל = π × 6² = 36π שטח הגזרה = (90/360) × 36π = 9π

אורך קשת בזווית 60 מעלות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מעגל רדיוסו 5. חשב את אורך הקשת המזווית המרכזית 60 מעלות.

קשתאורך קשתמעגל

רמז: אורך קשת = (α/360) × היקף המעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5π/3

היקף = 2π × 5 = 10π אורך הקשת = (60/360) × 10π = (1/6) × 10π = 5π/3

היקף גזרה מעגלית זווית 120 מעלות ורדיוס 7

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את היקף הגזרה במעגל שרדיוסו 7 והזווית המרכזית 120 מעלות.

גזרה מעגליתהיקף

רמז: היקף גזרה = 2 רדיוס + אורך הקשת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 14 + 14π/3

אורך הקשת = (120/360) × 2π × 7 = (1/3) × 14π = 14π/3 היקף הגזרה = 2 × 7 + 14π/3 = 14 + 14π/3

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב אורך קשת במעגל

אורך קשת בגזרה מעגלית לפי זווית מרכזית ורדיוס

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הקשת AB
נתון 1
נתון 1
רדיוס המעגל R = 3
נתון 2
נתון 2
זווית מרכזית α = 80 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את אורך הקשת כחלק יחסי מההיקף המלא של המעגל לפי הזווית המרכזית.
נוסחה
נכתוב את הנוסחה באותיות ובערכים.
(80 / 360) * 2 * pi * 3(80/360) × 2 × π × 3(80)/(360) x 2 x x 3
משוואה
מבצעים את החישוב המספרי של הנוסחה.
מבצעים את החישוב המספרי של הנוסחה.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מספרים את אורך הקשת באתר פי (פאי) בערכים פשוטים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון רדיוס וזווית

מה עושים

מסמנים את הרדיוס R = 3 ואת הזווית המרכזית 80 מעלות.

למה

כדי להשתמש בנוסחת אורך קשת יש לדעת רדיוס וזווית.

נתון רדיוס המעגל R = 3 וזווית מרכזית α = 80 מעלות.

בחירת שיטה

הבנת חישוב אורך קשת

מה עושים

אורך הקשת הוא החלק היחסי מההיקף לפי הזווית.

למה

אם הזווית היא חלק מ-360 מעלות, גם הקשת היא חלק יחסי מההיקף.

אורך הקשת = (α/360) × היקף המעגל.

בניית משוואה

נוסחת אורך הקשת

מה עושים

נכתוב את הנוסחה באותיות ובערכים.

למה

כדי להכניס נתונים לחישוב.

אורך קשת = (80/360) × 2 × π × 3

נוסחה / הצבה

(80 / 360) * 2 * pi * 3(80/360) × 2 × π × 3(80)/(360) x 2 x x 3

הקפידו לבצע חילוק וחישוב לפי סדר נכון.

פתרון

חישוב ערך הקשת

מה עושים

מבצעים את החישוב המספרי של הנוסחה.

למה

להגיע לתוצאה מספרית קונקרטית.

היקף = 2 × π × 3 = 6π אורך הקשת = (80/360) × 6π = (2/9) × 6π = 12π / 9 = 4π / 3

השתמשו בקיצור שברים לנוחות.

תשובה

סיכום והצגת התוצאה

מה עושים

מספרים את אורך הקשת באתר פי (פאי) בערכים פשוטים.

למה

כדי להשלים את הפתרון.

אורך הקשת AB = 4π/3

פתרונות כלליים

חישוב היקף מעגל רדיוס 3: היקף = 2 × π × 3 = 6π
שטח מעגל רדיוס 4: שטח = π × 4² = 16π
שטח גזרה מעגלית בזווית 90 מעלות: שטח המעגל = π × 6² = 36π שטח הגזרה = (90/360) × 36π = 9π
אורך קשת בזווית 60 מעלות: היקף = 2π × 5 = 10π אורך הקשת = (60/360) × 10π = (1/6) × 10π = 5π/3
היקף גזרה מעגלית זווית 120 מעלות ורדיוס 7: אורך הקשת = (120/360) × 2π × 7 = (1/3) × 14π = 14π/3 היקף הגזרה = 2 × 7 + 14π/3 = 14 + 14π/3

הפריט הקודם הפריט הבא

ה1. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הקשת AB

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב את הנוסחה באותיות ובערכים.

מבצעים את החישוב המספרי של הנוסחה.

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון רדיוס וזווית

הבנת חישוב אורך קשת

נוסחת אורך הקשת

חישוב ערך הקשת

סיכום והצגת התוצאה

פתרונות כלליים