השיעור עוסק בכתיבת הוכחות בגיאומטריה, עם דגש על קטע אמצעי במשולש, מושגים בגיאומטריה של ריבוע, ומשפט התיכון ליתר. מסביר כיצד לזהות ולנמק טענות באמצעות משפטים מוכרים והיגיון גאומטרי.
להבין את מושג קטע האמצעי במשולש וליישם אותו בהוכחה
לזהות תכונות גיאומטריות בריבוע ובמשולש ישר-זווית
לכתוב הוכחה מסודרת ומנומקת בגיאומטריה
להשתמש במשפט תיכון היתר להסקת מסקנות בגיאומטריה
גיאומטריה של ריבוע ומשולשים: מסבירים את תכונות הריבוע, מקבילות וצלעות שוות, והקשר למשולשים החבויים בתוכו.
משפט קטע האמצעי במשולש: קטע מקביל לבסיס המשולש ושווה למחציתו יוצא מאמצע שוק אחת לשנייה.
תיכון היתר במשולש ישר זווית: תיכון היתר שווה למחצית היתר ומסייע בהוכחות במשולשים ישרי זווית.

תרגול קצר

הוכח כי DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB

רמת קושי: קל

ממתין

נתון ריבוע ABCD וכן נקודה M על המשך CD כך שהזווית MFC היא 90°. הוכח שקטע DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

גיאומטריהריבועקטע אמצעיהוכחה

רמז: זכור שקטע אמצעי במשולש הוא קטע שמקביל לבסיס ושווה למחציתו, ויוצא מאמצע שוק לאמצע שוק.

פתרון מלא

תשובה סופית: DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB, כי הוא מקביל ל-BC ושווה למחציתו.

מאחר ש-ABCD הוא ריבוע, הצלעות נגדיות מקבילות ושוות. היות ש-DE מקביל ל-BC ו-DE שווה למחצית CB, לפי משפט קטע אמצעי הרי DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

הוכח: FD שווה למחצית FC במשולש MFC

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש MFC, הוכח כי התיכון FD שווה למחצית היתר FC כשזווית MFC היא 90°.

גיאומטריהמשולש ישר זוויתתיכון היתרהוכחה

רמז: השתמש במשפט תיכון היתר במשולש ישר זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: FD = 1/2 FC

מאחר ש-MFC משולש ישר זווית בזווית MFC, תיכון היתר FD שווה למחצית היתר FC לפי משפט תיכון היתר.

הוכח שכל התימוניים שווים בריבוע ABCD

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון ריבוע ABCD. הוכח שכל התימוניים שמתוחמים מחצי הצלעות שווים.

ריבועתימוניםהוכחהגיאומטריה מתקדמת

רמז: נצל את מקבילות הצלעות ואת שווי הצלעות בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: כל התימוניים בריבוע ABCD שווים.

בשל שווי ושוויון הזוויות בריבוע, ותימוני המסורגים יוצרים משולשים שווי שוקיים עם תכונות סימטריות, ניתן להראות שכל התימוניים שווים באמצעות ההוכחות לקטעי האמצעי ותיכון היתר שהצגנו.

בחן הוכחה: קטע DE הוא קטע אמצעי

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש MCB שריבוע ABCD נמצא בו, נקודה M על המשך CD והקטע DE מקביל ל-BC ושווה למחציתו. הסבר מדוע DE הוא קטע אמצעי.

בגרותגיאומטריהקטע אמצעי

רמז: השתמש בתכונות קטע האמצעי במשולש שקראת בשיעור.

פתרון מלא

תשובה סופית: DE הינו קטע אמצעי במשולש MCB לפי ההגדרה ומשפט קטע האמצעי.

קטע DE הוא מקביל לבסיס CB ושווה למחציתו, ונמצא מחיבור בין אמצעי השוקים במשולש. לכן, DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון להוכחת קטע אמצעי במשולש MCB

הוכחת DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח ש-DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB
נתון 1
נתון 1
AB=BC=CD=DA = A (ריבוע)
נתון 2
הזווית MFC היא 90 מעלות
נתון 3
DE מקביל ל-BC
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשפט קטע האמצעי במשולש, שקטע המקביל לבסיס ושווה למחציתו הוא קטע אמצעי, ונבדוק את התנאים
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
לפי הגדרה, אם קטע מקביל לבסיס ושווה למחציתו הוא קטע אמצעי.
לפי הגדרה, אם קטע מקביל לבסיס ושווה למחציתו הוא קטע אמצעי.
פישוט
מכאן נובע שהקטע DE יוצא מאמצע שוק לשוק, ולכן הוא קטע אמצעי במשולש MCB.
מכאן נובע שהקטע DE יוצא מאמצע שוק לשוק, ולכן הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים על הריבוע והזוויות

מה עושים

רשום ש-AB=BC=CD=DA ושהזווית MFC היא 90 מעלות.

למה

מקדימים את התכונות החשובות כך שיידועו כנתונים.

ריבוע עם צלעות שוות וזווית ישרה בנקודה MFC.

בחירת שיטה

זהות המקבילות והחלקים

מה עושים

בדוק ש-DE מקביל ל-BC ושווה למחציתו.

למה

תנאים מרכזיים להגדרת קטע אמצעי במשולש.

DE הוא קטע שווה למחצית BC ומקביל לו.

בניית משוואה

הגדרת קטע אמצעי

מה עושים

לפי הגדרה, אם קטע מקביל לבסיס ושווה למחציתו הוא קטע אמצעי.

למה

משפט מרכזי ביישום ההוכחה.

DE הוא קטע אמצעי כי מקביל ל-BC ושווה למחציתו.

פתרון

סיכום ההוכחה

מה עושים

מכאן נובע שהקטע DE יוצא מאמצע שוק לשוק, ולכן הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

למה

לפי משפט קטע האמצעי במשולש.

הוכחנו כי DE הוא קטע אמצעי.

פתרונות כלליים

הוכח כי DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB: מאחר ש-ABCD הוא ריבוע, הצלעות נגדיות מקבילות ושוות. היות ש-DE מקביל ל-BC ו-DE שווה למחצית CB, לפי משפט קטע אמצעי הרי DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB.
הוכח: FD שווה למחצית FC במשולש MFC: מאחר ש-MFC משולש ישר זווית בזווית MFC, תיכון היתר FD שווה למחצית היתר FC לפי משפט תיכון היתר.
הוכח שכל התימוניים שווים בריבוע ABCD: בשל שווי ושוויון הזוויות בריבוע, ותימוני המסורגים יוצרים משולשים שווי שוקיים עם תכונות סימטריות, ניתן להראות שכל התימוניים שווים באמצעות ההוכחות לקטעי האמצעי ותיכון היתר שהצגנו.
בחן הוכחה: קטע DE הוא קטע אמצעי: קטע DE הוא מקביל לבסיס CB ושווה למחציתו, ונמצא מחיבור בין אמצעי השוקים במשולש. לכן, DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד2. גיאומטריה כתיבת הוכחה

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח ש-DE הוא קטע אמצעי במשולש MCB

נתון 1

הזווית MFC היא 90 מעלות

DE מקביל ל-BC

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

לפי הגדרה, אם קטע מקביל לבסיס ושווה למחציתו הוא קטע אמצעי.

מכאן נובע שהקטע DE יוצא מאמצע שוק לשוק, ולכן הוא קטע אמצעי במשולש MCB.

פתרון מפורט

נתונים על הריבוע והזוויות

זהות המקבילות והחלקים

הגדרת קטע אמצעי

סיכום ההוכחה

פתרונות כלליים