השיעור עוסק בתכונות גיאומטריות של תרששים וטרפזים שווי שוקיים, עם דגש על זוויות הבסיס, אלכסונים, ומבנים נובעים כגון משושים עליונים ותחתונים. מוצגים משפטים וחפיפות משולשים המשמעותיים לתכונות אלו.
להבין את תכונות זוויות הבסיס בתרששים שווי שוקיים
להכיר את מבנה האלכסונים והשפעתם על טרפז שווי שוקיים
לזהות ולהסביר תכונות משולשים חופפים המייצרים אלכסונים שווים
להבחין בין משושים עליון ותחתון הנוצרים מהאלכסונים ולהבין את משמעותם
להבחין במקרים בהם האלכסונים אינם חוצים זה את זה
להפעיל את הידע התיאורטי לניתוח בעיות גיאומטריות במרובעים
זוויות הבסיס בטרפז שווי שוקיים: זוויות הבסיס של הטרפז השווי שוקיים שוות זו לזו, הן בבסיס העליון והן בבסיס התחתון.
חפיפות משולשים ואלכסונים בתרשש שווי שוקיים: האלכסונים בתרשש יוצרים משולשים חופפים עם צלע משותפת ולכן אלכסוניהם שווים באורך.
משושים עליון ותחתון: האלכסונים יוצרים בתרשש שני משושים הנקראים משש עליון ומשש תחתון, הצורה והמאפיינים שלהם אינם נתמכים במשפט מוכר.

תרגול קצר

זיהוי זוויות בסיס בתרשש שווי שוקיים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון תרשש שווי שוקיים. הראה כי זוויות הבסיס שוות זו לזו.

תרששזווית בסיסשווי שוקיים

רמז: השתמש במשפט שזוויות הבסיס בתרשש שווי שוקיים שוות.

פתרון מלא

תשובה סופית: זוויות הבסיס בתרשש שווי שוקיים שוות זו לזו.

בתרשש שווי שוקיים שתי השוקיים שוות. לכן הזוויות המונחות על בסיס כל שוק שוות זו לזו לפי הוגדרה בתרשש. כלומר זוויות הבסיס שוות.

הוכחת שוויון אלכסונים בתרשש שווי שוקיים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בתרשש שווי שוקיים ABCD, הראה שהאלכסונים AC ו-BD שווים באורך.

תרששאלכסוניםחפיפות

רמז: הראה שמשולשים הנוצרי על ידי האלכסונים חופפים דרך צלע משותפת וזוויות שוות.

פתרון מלא

תשובה סופית: האלכסונים AC ו-BD שווים באורך בתרשש שווי שוקיים.

עירגנו את האלכסון AC והאלכסון BD. במשולשים ADC ו-BDC יש צלע משותפת DC, זוויות בסיס שוות וזוויות על DC חופפות. לכן המשולשים חופפים לפי חוק זווית-צלע-זווית. מכאן האלכסונים שווים באורך.

ניתוח משושים בנוי מתרשש שווי שוקיים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בתרשש שווי שוקיים ABCD, עיין בתכונות המשושים העליון והתחתון הנוצרים מהאלכסונים והסבר למה אין להם משפט מוכר.

תרששמשושיםאלכסונים

רמז: השווה בין המשושים ומיקומי הזוויות אך זכור שאלכסונים אינם חוצים זה את זה.

פתרון מלא

תשובה סופית: משושים עליון ותחתון קיימים בתרשש שווי שוקיים אך אין להם משפט רשמי.

האלכסונים יוצרים משולשים שווי שוקיים העליון והתחתון, שמרכיבים משושים עם זוויות שוות עולה מהחפיפות וההחלפות. עם זאת, מכיוון שהאלכסונים אינם חוצים זה את זה, אין משפט גיאומטרי רשמי הכולל את המשושים הללו כמשולב.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון אלכסונים בתרשש שווי שוקיים

משפט בסיס בתחום המרובעים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח ש-AC = BD
נתון 1
תרשש שווי שוקיים ABCD
נתון 2
נתון 2
שוקיים AB = CD
רעיון
הרעיון המרכזי
להראות שהמשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים חופפים ולאחר מכן להסיק שוויון אלכסונים.
נוסחה
מכיוון שהמשולשים חופפים, AC=BD.
AC = BDאורך אלכסון AC = אורך אלכסון BD
משוואה
הראו ש־DC משותף ושווה לצדדים התואמים ושזוויות הבסיס שוות.
הראו ש־DC משותף ושווה לצדדים התואמים ושזוויות הבסיס שוות.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדקו שגם זוויות הבסיס תואמות והאלכסונים אכן שווים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנתונים הבסיסיים

מה עושים

יש נתון תרשש שווי שוקיים ABCD.

למה

הבנת מבנה התרשש ומאפייני השוקיים שווים.

בתרשש ABCD השוקיים AB ו-CD שווים באורך וזו נקודת התחלה להוכחה.

בחירת שיטה

בחינת משולשים הנוצרים מהאלכסונים

מה עושים

בחר את המשולשים ADC ו-BDC שנוצרים מהאלכסונים AC ו-BD.

למה

משולשים אלו הם מפתח להוכחת שוויון האלכסונים.

נבדוק את התכונות שלהם וננסה להראות חפיפות ביניהם.

בניית משוואה

בחינת חפיפות משולשים

מה עושים

הראו ש־DC משותף ושווה לצדדים התואמים ושזוויות הבסיס שוות.

למה

על פי חוק זווית-צלע-זווית ניתן להוכיח חפיפה בין המשולשים.

המשולשים ADC ו-BDC חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

פתרון

הסיקו שוויון אלכסונים

מה עושים

מכיוון שהמשולשים חופפים, AC=BD.

למה

חפיפות משולשים משמעותן שצלעות מקבילות ושוות באורכם.

הוכחנו שהאלכסונים שווים באורך בתרשש שווי שוקיים.

נוסחה / הצבה

AC = BDאורך אלכסון AC = אורך אלכסון BD

בדיקה

אמתו את התוצאה

מה עושים

בדקו שגם זוויות הבסיס תואמות והאלכסונים אכן שווים.

למה

כדי לוודא שההוכחה נכונה גם מבחינת הזוויות.

האלכסונים שווים והמשולשים חופפים בהתאם לנתונים.

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

האלכסונים AC ו-BD שווים באורך בטרפז שווי שוקיים.

למה

זוהי התוצאה הנדרשת להוכחה.

הוכחנו כי האלכסונים שווים תוך שימוש בחפיפות משולשים ונתוני התרשש.

פתרונות כלליים

זיהוי זוויות בסיס בתרשש שווי שוקיים: בתרשש שווי שוקיים שתי השוקיים שוות. לכן הזוויות המונחות על בסיס כל שוק שוות זו לזו לפי הוגדרה בתרשש. כלומר זוויות הבסיס שוות.
הוכחת שוויון אלכסונים בתרשש שווי שוקיים: עירגנו את האלכסון AC והאלכסון BD. במשולשים ADC ו-BDC יש צלע משותפת DC, זוויות בסיס שוות וזוויות על DC חופפות. לכן המשולשים חופפים לפי חוק זווית-צלע-זווית. מכאן האלכסונים שווים באורך.
ניתוח משושים בנוי מתרשש שווי שוקיים: האלכסונים יוצרים משולשים שווי שוקיים העליון והתחתון, שמרכיבים משושים עם זוויות שוות עולה מהחפיפות וההחלפות. עם זאת, מכיוון שהאלכסונים אינם חוצים זה את זה, אין משפט גיאומטרי רשמי הכולל את המשושים הללו כמשולב.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג6. גיאומטריה המרובעים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח ש-AC = BD

תרשש שווי שוקיים ABCD

נתון 2

הרעיון המרכזי

מכיוון שהמשולשים חופפים, AC=BD.

הראו ש־DC משותף ושווה לצדדים התואמים ושזוויות הבסיס שוות.

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הנתונים הבסיסיים

בחינת משולשים הנוצרים מהאלכסונים

בחינת חפיפות משולשים

הסיקו שוויון אלכסונים

אמתו את התוצאה

סיכום התוצאה

פתרונות כלליים