שיעור על תכונות מקבילית ומלבן, בחינת זוויות, אורך אלכסונים, והקשר בין תיכון ליתר במשולש במקבילית ומלבן.
לזהות ולהסביר תכונות של מקבילית ומלבן
להבין את הקשר בין אלכסונים במשולש שנוצר במקבילית
להכיר את משפט התיכון ליתר במשולש ולהשתמש בו במקבילית
לאבחן מתי זוויות הן ישרות ומה המשמעות הגאומטרית לכך
תכונות בסיסיות של מקבילית ומלבן: התכונות המרכזיות של מקבילית, וכיצד מצטרפות התכונות של זוויות ישרות במלבן.
בחינת אלכסונים במשולשים במקבילית: בדיקה האם אלכסונים במקבילית יוצרים משולשים שווי שוקיים ומתי התיכון הוא חוצה זווית ואונך.

תרגול קצר

אישוש תכונות אלכסונים במקבילית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה מקבילית ABCD. הראו שהאלכסונים נחצים לשני חלקים שווים. סמנו את נקודת החיתוך O והסבירו מדוע AO=OC.

מקביליתאלכסוניםתכונות קיפול

רמז: שימו לב שהאלכסונים חוצים זה את זה במשולשים שנוצרים

פתרון מלא

תשובה סופית: AO=OC כי האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולכן נקודת החיתוך O תחלק כל אלכסון לשני קטעים שווים, כלומר AO=OC.

בדיקת חפיפה של משולשים במלבן

רמת קושי: בינוני

ממתין

במלבן ABCD הראו שהמשולשים שיוויים בשטח ובצורה (חופפים) הנוצרים מהאלכסונים, והסבירו מדוע .

מלבןחפיפהאלכסונים

רמז: שימו לב שכל הזוויות במלבן 90 מעלות והאלכסונים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים חופפים כי האלכסונים שווים וחוצים זה את זה.

במלבן ABCD האלכסונים שווים וחותכים זה את זה, ולכן שני המשולשים שנוצרים שווים על פי שוק משותף ושני זוויות של 90 מעלות, לכן הם חופפים ושווי שטח.

הוכחת משפט התיכון ליתר במשולש במקבילית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש שמתקבל במקבילית הוכח שהתיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, והסבר מדוע התיכון אינו חוצה זווית או מאונך.

מקביליתמשפט התיכוןאלכסונים

רמז: זכרו שבמקבילית האלכסונים נחצים אך לא בהכרח מאונכים או חוצי זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: התיכון ליתר שווה למחצית היתרה אך לא חוצה זווית ואינו מאונך כי המשולש אינו שווה שוקיים.

משפט התיכון ליתר קובע שהתיכון ליתר במשולש שווה למחצית היתרה. במקבילית האלכסונים נחצים, ולכן התיכון ליתר במשולש זה שווה למחצית היתרה. עם זאת, התיכון אינו חוצה זווית או מאונך כי המשולש אינו שווה שוקיים ולכן התיכון לא חוצה זווית.

הוכחת תכונות מקבילית באמצעות אלכסונים

רמת קושי: בגרות

ממתין

במקבילית ABCD נקודת החיתוך של האלכסונים היא O הראו כי AO=OC ושלבו את התכונה במשפט התיכון ליתר במשולש ABO.

מקביליתמשפט התיכוןבחינה

רמז: השתמשו בתכונת חציית האלכסונים במקבילית ובמשפט התיכון ליתר.

פתרון מלא

תשובה סופית: AO=OC והתיכון AO שווה למחצית היתרה BC במשולש ABO.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן AO=OC. במשולש ABO, הקטע AO הוא תיכון המחלק את הצלע BC לשני חלקים שווים, ולכן התיכון שווה למחצית היתרה BC.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: הוכחת AO=OC במקבילית ABCD

הבנת חציית האלכסונים במקבילית

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לברר ש-AO=OC
נתון 1
ABCD מקבילית
נתון 2
O היא נקודת החיתוך של האלכסונים AC ו-BD
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בתכונת חציית האלכסונים במקבילית ובמשפט התיכון ליתר במשולש.
נוסחה
AO = OC
AO = OC
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נשתמש בתכונות המקבילית כדי להצדיק AO שווה ל-OC.
נשתמש בתכונות המקבילית כדי להצדיק AO שווה ל-OC.
תוצאה
מסיימים בתשובה
ישנה מקבילית ABCD עם אלכסוניה AC ו-BD הנחתוך בנקודה O.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונה מקבילית ABCD ונקודת החיתוך O

מה עושים

ישנה מקבילית ABCD עם אלכסוניה AC ו-BD הנחתוך בנקודה O.

למה

נתונים אלו עוזרים לנו לבחון תכונות אלכסונים במקבילית.

קיימת מקבילית פרטו את האלכסונים ונקודת החיתוך.

בחירת שיטה

האלכסונים חוצים זה את זה

מה עושים

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולכן O מחלק את AC לשני מקטעים שווים.

למה

זוהי תכונה מובנית במקבילית המסייעת להוכחה.

תכונה זו מאפשרת להראות AO=OC.

בניית משוואה

כתיבת ביטוי מתמטי לחציית האלכסונים

מה עושים

AO = OC

למה

נקודת החיתוך מחלקת את האלכסון AC לשני חלקים שווים.

חציית האלכסונים במשמעות מתמטית.

נוסחה / הצבה

AO = OC

פתרון

הוכחה מתמטית בהתאם לתכונה ידועה

מה עושים

נשתמש בתכונות המקבילית כדי להצדיק AO שווה ל-OC.

למה

כיוון שאורך שני הקטעים שווים לפי הגדרה זו, AO=OC בהכרח.

סיכום ההוכחה.

פתרונות כלליים

אישוש תכונות אלכסונים במקבילית: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולכן נקודת החיתוך O תחלק כל אלכסון לשני קטעים שווים, כלומר AO=OC.
בדיקת חפיפה של משולשים במלבן: במלבן ABCD האלכסונים שווים וחותכים זה את זה, ולכן שני המשולשים שנוצרים שווים על פי שוק משותף ושני זוויות של 90 מעלות, לכן הם חופפים ושווי שטח.
הוכחת משפט התיכון ליתר במשולש במקבילית: משפט התיכון ליתר קובע שהתיכון ליתר במשולש שווה למחצית היתרה. במקבילית האלכסונים נחצים, ולכן התיכון ליתר במשולש זה שווה למחצית היתרה. עם זאת, התיכון אינו חוצה זווית או מאונך כי המשולש אינו שווה שוקיים ולכן התיכון לא חוצה זווית.
הוכחת תכונות מקבילית באמצעות אלכסונים: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן AO=OC. במשולש ABO, הקטע AO הוא תיכון המחלק את הצלע BC לשני חלקים שווים, ולכן התיכון שווה למחצית היתרה BC.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג2. גיאומטריה המרובעים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לברר ש-AO=OC

ABCD מקבילית

O היא נקודת החיתוך של האלכסונים AC ו-BD

הרעיון המרכזי

AO = OC

נבנה משוואה

נשתמש בתכונות המקבילית כדי להצדיק AO שווה ל-OC.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונה מקבילית ABCD ונקודת החיתוך O

האלכסונים חוצים זה את זה

כתיבת ביטוי מתמטי לחציית האלכסונים

הוכחה מתמטית בהתאם לתכונה ידועה

פתרונות כלליים