שיעור זה סוקר את תכונות המקבילית מבחינה גאומטרית, כולל הגדרות, זוויות, צלעות ואלכסונים. נלמד על הוכחות חפיפות משולשים בהקשר למרובעים ונדון בתכונות האלכסונים במקבילית.
להבין ולהגדיר את המקבילית ואת יתרת המרובעים שהוזכרו כמו דלתון
להכיר את תכונות הצלעות והזוויות במקבילית
להבין כיצד לאבחן חפיפות משולשים במקבילית תוך שימוש בזוויות וצלעות
ללמוד את התכונות של האלכסונים במקבילית ולהבין מתי הם שווים, חוצים או חוצי זווית
הגדרת המקבילית והקשר לדלתון: המקבילית מוגדרת כמربع שיש לו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. בדומה לדלתון, אך עם הגדרה מינימליסטית מקיפה.
אנליזה הנדסית במקבילית: מנתחים זוויות, צלעות ואלכסונים במקבילית כדי לחשוף תכונות וצורות חפיפה במשולשים המרכיבים את המרובע.
תכונות האלכסונים במקבילית: נלמד מדוע האלכסונים במקבילית אינם בהכרח שווים או חוצי זווית, ומה הסיבות לכך שלא מומלץ להניח תכונות שלא מובאות מההגדרה או מההוכחה.

תרגול קצר

בדיקת חפיפות משולשים במקבילית

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן מקבילית ABCD, הראו שהמשולשים ABC ו- CDA חופפים באמצעות זוויות וצלעות.

מקביליתחפיפותמשולשים

רמז: השתמשו בתכונות הזוויות שבין הבסיסים ובצלעות המקבילות.

פתרון מלא

תשובה סופית: משולשים ABC ו- CDA חופפים ע"י זווית צלע זווית.

נבדוק זוויות משולשות ונסמן צלעות משותפות. לפי זווית צלע זווית, המשולשים חופפים.

הוכחת סכום זוויות חד-צדדיות במקבילית

רמת קושי: בינוני

ממתין

הראו כי סכום הזוויות החד-צדדיות בין שתי צלעות מקבילות במקבילית הוא 180 מעלות.

מקביליתזוויותגיאומטריה

רמז: השתמשו במשפט זוויות חד צדדיות במקבילית.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום הזוויות החד-צדדיות במקבילית הוא 180 מעלות.

הזוויות החד-צדדיות הן משלימות ולכן סכומן הוא 180 מעלות.

הוכחת אי-שוויון האלכסונים במקבילית כללית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכיחו כי האלכסונים של מקבילית כללית אינם בהכרח שווים.

מקביליתאלכסוניםהוכחות

רמז: שקלו את צורת המשולשים שנוצרות על ידי האלכסונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: האלכסונים במקבילית אינם בהכרח שווים.

המשולשים שנוצרים על ידי האלכסונים אינם שווים, ולכן האלכסונים לא חייבים להיות שווים.

בחן חפיפות במשולשים במקבילית

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן מקבילית ABCD, הראו כי המשולשים ABC ו- CDA חופפים וציינו את תכונות הצלעות והזוויות התומכות בכך.

מקביליתחפיפותבחינת בגרות

רמז: השתמשו בזווית צלע זווית ובצלע משותפת.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים ABC ו- CDA חופפים לפי זווית צלע זווית.

במשולשים ABC ו- CDA יש זווית שווה, צלע משותפת וזווית שנייה שווה ולכן הם חופפים לפי זווית צלע זווית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

בדיקת חפיפות משולשים במקבילית

איך להראות שמשולשים בחלקי המקבילית חופפים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכיחו שחפיפות המשולשים ABC ו-CDA
נתון 1
מקבילית ABCD עם צלעות AB, BC, CD, DA
נתון 2
זוויות בין הצלעות כפי שנקבעו בהגדרות המקבילית
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בהשוואת זוויות וצלע משותפת להוכחת חפיפות משולשים לפי זווית-צלע-זווית.
נוסחה
נסמן זווית אלפא בצלע AB ובצלע CD, ונמצא שהן שוות כי צלעות אלו מקבילות.
זווית ABC = זווית CDA = אלפאזווית ABC = זווית CDA = αABC = CDA =
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
כיון שיש זוויות שוות וצלע משותפת AC, נסיק שהמשולשים חופפים.
כיון שיש זוויות שוות וצלע משותפת AC, נסיק שהמשולשים חופפים.
תוצאה
מסיימים בתשובה
המשולשים ABC ו-CDA חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון מקבילית ABCD

מה עושים

יש בידינו מקבילית עם צלעות נגדיות מקבילות.

למה

המקבילית היא הבסיס לניתוח תכונות המשולשים.

מקבילית ABCD עם צלעות AB מקביל לCD, ו-BC מקביל לDA.

זכור את תכונות המקבילית.

בחירת שיטה

הבנת חפיפות במשולשים

מה עושים

נחפש זוויות שוות וצלע משותפת בין שני המשולשים.

למה

זה יסייע לנו להראות חפיפות לפי קריטריונים ידועים.

נבדוק זוויות חד-צדדיות שוות וסימון צלע משותפת בין המשולשים.

הזוויות בין הצלעות המקבילות הן משלימות ל-180 מעלות.

בניית משוואה

יסמן זוויות וצלעות

מה עושים

נסמן זווית אלפא בצלע AB ובצלע CD, ונמצא שהן שוות כי צלעות אלו מקבילות.

למה

זוויות מתאימות שוות במשולשים.

אלפא היא זווית בין AB ל-BC ובסמוך ב-CD ו-DA.

נוסחה / הצבה

זווית ABC = זווית CDA = אלפאזווית ABC = זווית CDA = αABC = CDA =

שימוש בתכונת זוויות בין מקבילים.

פתרון

חפיפות זווית-צלע-זווית

מה עושים

כיון שיש זוויות שוות וצלע משותפת AC, נסיק שהמשולשים חופפים.

למה

המשולשים חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

צלע AC משותפת ומשולבים בזוויות שוות α וזווית משולשת משותפת.

חפיפות לפי זווית-צלע-זווית מוכיחה שוויון משולשים.

תשובה

סיכום ההוכחה

מה עושים

המשולשים ABC ו-CDA חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

למה

מה שיוביל לתכונות נוספות במקבילית שניתן להשתמש בהן בעתיד.

הוכחנו את החפיפות כנדרש.

הבנת חפיפות היא בסיס לעבודות גיאומטריות מורכבות יותר.

פתרונות כלליים

בדיקת חפיפות משולשים במקבילית: נבדוק זוויות משולשות ונסמן צלעות משותפות. לפי זווית צלע זווית, המשולשים חופפים.
הוכחת סכום זוויות חד-צדדיות במקבילית: הזוויות החד-צדדיות הן משלימות ולכן סכומן הוא 180 מעלות.
הוכחת אי-שוויון האלכסונים במקבילית כללית: המשולשים שנוצרים על ידי האלכסונים אינם שווים, ולכן האלכסונים לא חייבים להיות שווים.
בחן חפיפות במשולשים במקבילית: במשולשים ABC ו- CDA יש זווית שווה, צלע משותפת וזווית שנייה שווה ולכן הם חופפים לפי זווית צלע זווית.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג1. גיאומטריה המרובעים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכיחו שחפיפות המשולשים ABC ו-CDA

מקבילית ABCD עם צלעות AB, BC, CD, DA

זוויות בין הצלעות כפי שנקבעו בהגדרות המקבילית

הרעיון המרכזי

נסמן זווית אלפא בצלע AB ובצלע CD, ונמצא שהן שוות כי צלעות אלו מקבילות.

נבנה משוואה

כיון שיש זוויות שוות וצלע משותפת AC, נסיק שהמשולשים חופפים.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון מקבילית ABCD

הבנת חפיפות במשולשים

יסמן זוויות וצלעות

חפיפות זווית-צלע-זווית

סיכום ההוכחה

פתרונות כלליים