השיעור עוסק באנכים האמצעיים במשולש, תכונותיהם ונקודת מפגשם שהינה מרכז המעגל החוסם את המשולש.
להבין מהו האנך האמצעי במשולש
לזהות את נקודת מפגש האנכים האמצעיים
להכיר את התכונה כי נקודת מפגש האנכים שווה מרחק מכל קודקודי המשולש
להבדיל בין הנח לאנך ולגובה במשולש
להבין את חשיבות מרכז המעגל החוסם בהקשר למשולש
אנכים אמצעיים במשולש: האנכים האמצעיים יוצאים מאמצעי הצלע בניצב לה ומפגשים בנקודה אחת המהווה מרכז המעגל החוסם.
הבדלים בין נח, אנך וגובה: הבדלים בין מונחים: הנח היא קו אנכי כללי, גובה יוצא מקודקוד וצמוד לצלע, והאנך האמצעי יוצא מאמצע הצלע בניצב לה.

תרגול קצר

סמן את נקודת מפגש האנכים האמצעיים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC. סמן את נקודת מפגש של שלושת האנכים האמצעיים וציין את תכונותיה.

אנך אמצעימרכז המעגלגיאומטריה

רמז: כל אנך אמצעי יוצא מאמצע הצלע בניצב אליו. נקודת מפגש האנכים היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מפגש האנכים האמצעיים היא מרכז המעגל החוסם המשולש, ונמצאת במרחק שווה מקודקודי המשולש.

נסמן את אמצעי הצלעות ונשרטט מהן אנכים אמצעיים. נקודת מפגשם היא נקודה הממוקמת במרחק שווה משלושת הקודקודים, ועל כן מרכז המעגל החוסם.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: נקודת מפגש האנכים האמצעיים

זיהוי מרכז המעגל החוסם במשולש

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת מפגש שלושת האנכים האמצעיים / תכונת נקודת המפגש ביחס לקודקודי המשולש
נתון 1
משולש ABC כלשהו
נתון 2
נקודות אמצע של צלעות המשולש: X, Y, Z
רעיון
הרעיון המרכזי
לשרטט את האנכים האמצעיים, לזהות את נקודת המפגש ולסמן את המרחקים מהנקודה לקודקודים.
נוסחה
מסמנים שהמרחקים מהנקודה הזו לשלושת הקודקודים שווים.
XA = YB = ZC
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מכאן ניתן לבנות משוואות המשוות בין המרחקים לקודקודים.
מכאן ניתן לבנות משוואות המשוות בין המרחקים לקודקודים.
XA = YBYB = ZC
תוצאה
מסיימים בתשובה
נקודת המפגש היא מרכז המעגל החוסם ב-R קבוע מהקודקודים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המשולש וצלעותיו

מה עושים

נבחר משולש ABC עם נקודות האמצע X, Y, Z לצלעותיו.

למה

נדרש לציין את נקודות האמצע לצורך שרטוט האנכים האמצעיים.

המשולש נתון עם נקודות אמצע כל צלע המאפשרות שרטוט אנכים אמצעיים.

זיהוי נתונים

שרטוט אנכים אמצעיים

מה עושים

משרטטים אנך אמצעי יוצא מכל נקודת אמצע בניצב לצלע.

למה

אנכים אמצעיים יוצאים מאמצעי הצלעות בניצב להן.

שרטוט שלושת האנכים האמצעיים מתחילות בנקודות X, Y, Z של המשולש.

בחירת שיטה

נקודת מפגש האנכים האמצעיים

מה עושים

מגיעים למסקנה שכל שלושת האנכים נפגשים בנקודה אחת.

למה

משפט גאומטרי קובע כי שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

נקודת המפגש היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

בניית משוואה

מרחקים שווים מהנקודה לקודקודים

מה עושים

מסמנים שהמרחקים מהנקודה הזו לשלושת הקודקודים שווים.

למה

זו תכונה שנובעת מההגדרה של מרכז המעגל החוסם.

מרחק הנקודה מהקודקודים שווה, כלומר רדיוס מעגל החוסם.

נוסחה / הצבה

XA = YB = ZC

המסמנים מייצגים מרחקים שווים מהנקודה לקודקודים.

פתרון

המרחקים שווים מעוצבים כשווה

מה עושים

מכאן ניתן לבנות משוואות המשוות בין המרחקים לקודקודים.

למה

משוואות אלו מבטאות שוויון רדיוסים למעגל החוסם.

משוואות למרחקים מאפשרות לזהות את מרכז המעגל ואת רדיוסו.

נוסחה / הצבה

XA = YBYB = ZC

תשובה

קבלת מרכז המעגל החוסם

מה עושים

נקודת המפגש היא מרכז המעגל החוסם ב-R קבוע מהקודקודים.

למה

מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים במשולש.

נקודת המפגש היא מרכז המעגל עם רדיוס שווה לקודקודי המשולש.

פתרונות כלליים

סמן את נקודת מפגש האנכים האמצעיים: נסמן את אמצעי הצלעות ונשרטט מהן אנכים אמצעיים. נקודת מפגשם היא נקודה הממוקמת במרחק שווה משלושת הקודקודים, ועל כן מרכז המעגל החוסם.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב5. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודת מפגש שלושת האנכים האמצעיים / תכונת נקודת המפגש ביחס לקודקודי המשולש

משולש ABC כלשהו

נקודות אמצע של צלעות המשולש: X, Y, Z

הרעיון המרכזי

מסמנים שהמרחקים מהנקודה הזו לשלושת הקודקודים שווים.

נבנה משוואה

מכאן ניתן לבנות משוואות המשוות בין המרחקים לקודקודים.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

המשולש וצלעותיו

שרטוט אנכים אמצעיים

נקודת מפגש האנכים האמצעיים

מרחקים שווים מהנקודה לקודקודים

המרחקים שווים מעוצבים כשווה

קבלת מרכז המעגל החוסם

פתרונות כלליים