במורה זהות התיכון, תכונותיו והמשפטים החשובים לגביו במשולש, כולל משפטים על נקודת מפגש התיכונים ויחס החלוקה בנקודה זו.
להבין את הגדרת התיכון במשולש
לזהות תכונות עיקריות של התיכון והשפעתו על שטח המשולש
לזכור את משפטי מפגש התיכונים בנקודה אחת
להכיר את יחס החלוקה של התיכון בנקודת מפגש התיכונים
להכיר תכונה של שוויון שטח בין שישה משולשים הנוצרים בתיכונים
הגדרת תיכון ותכונותיו: הגדרה של תיכון במשולש והבחנה בין תכונה למשפט.
משפטי תיכונים חשובים: משפטים מרכזיים לגבי ההתכנסות של תיכונים בנקודה אחת והיחס בו נקודת המפגש מחלקת כל תיכון.
תכונות נוספות והמלצות ללמידה: תכונות נוספות לגבי תיכונים כמו יצירת שש משולשים שווי שטח והמשמעות של המשפטים הקריטיים.

תרגול קצר

בחינת תיכון במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC, הצלע BC אורכה 10 ס"מ. נקודה D היא אמצע הצלע BC. הוכח שהקטע AD הוא תיכון.

תיכוןהגדרות גיאומטריותמשולש

רמז: בדוק האם D מחלק את BC לשני חלקים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: AD הוא תיכון במשולש ABC כי D אמצע BC.

מכיוון ש-D היא אמצע הצלע BC, אז BD = DC = 5 ס"מ. הקטע AD מחבר את הקודקוד A לנקודה האמצעית D בצלע BC ולכן מוגדר כתיכון.

יחס חלקי תיכון בנקודת מפגש

רמת קושי: בינוני

ממתין

בתוך משולש ABC שלושת התיכונים נפגשים בנקודה G. ידוע כי אורך הקטע AG הוא 8 ס"מ. חשב את אורך הקטע GD.

תיכוןנקודת מפגש תיכוניםיחסיםגיאומטריה

רמז: השתמש ביחס החלוקה 2:1 בנקודת מפגש התיכונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: GD = 4 ס"מ

הנקודה G מחלקת את התיכון AD ביחס 2 ל-1 כך ש-AG הוא חלק כפול מ-GD. לכן, GD = AG / 2 = 8 / 2 = 4 ס"מ.

הוכחת שוויון שטח שני המשולשים שנוצרים מתיכון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש ABC, CD הוא תיכון היורד מנקודה C לנקודה D באמצע AB. הוכח ששני המשולשים ACD ו-BCD שווי שטח.

תיכוןשטח משולשהוכחותגיאומטריה

רמז: חשב את שטח כל משולש בעזרת גובה משותף ושווה לאורך בסיס.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים ACD ו-BCD שווי שטח.

הגובה משותף משולשים ACD ו-BCD הוא אותו גובה מנקודה C לצלע AB. הבסיס AB מחולק ל-2 ע"י D, לפיכך שטח ACD = חצי בסיס AD × גובה = חצי בסיס BD × גובה = שטח BCD.

נקודת מפגש תיכונים ויחס החלוקה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בתוך משולש ABC, שלושת התיכונים נפגשים בנקודה G. האורך של GD הוא 5 ס"מ. חשב את האורך של AG.

גיאומטריהתיכוןנקודת מפגש תיכוניםיחסים

רמז: השתמש בנתון ש-G מחלק את התיכון AD ביחס 2:1 כך שהקטע הגדול קרוב לקודקוד.

פתרון מלא

תשובה סופית: AG = 10 ס"מ

היחס בין AG ל-GD הוא 2 ל-1, לכן AG = 2 × GD = 2 × 5 = 10 ס"מ.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב יחס חלוקת תיכון בנקודת מפגש התיכונים

איך לחשב את אורך הקטעים AG ו-GD בתיכון AD

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הקטע GD בתיכון AD
נתון 1
נתון 1
AG = 8 ס"מ
נתון 2
G היא נקודת מפגש של שלושת התיכונים במשולש
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשפט שמתקיים בנקודת מפגש התיכונים: נקודת החיתוך מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כך שהקטע הקרוב
נוסחה
נסמן את GD = x.
AG = 2 * GDAG = 2 × GDAG = 2 x GD
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחליפים AG ב-8 ונחשב: 8 = 2x → x = 4
מחליפים AG ב-8 ונחשב: 8 = 2x → x = 4
תוצאה
מסיימים בתשובה
GD = 4 ס"מ

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון ראשוני

מה עושים

AG = 8 ס"מ, נקודת G היא מפגש התיכונים

למה

אלו הנתונים שמהם נתחיל לפתח את הפתרון

יש לנו מידע על אורך חלק אחד של התיכון ושהנקודה היא נקודת מפגש.

בחירת שיטה

הבנת היחס בנקודת מפגש

מה עושים

נקודת G מחלקת את התיכון AD ביחס 2:1

למה

משפט מרכזי בגיאומטריה לגבי תיכונים

אורך הקטע AG הוא פי 2 מהקטע GD בתיכון AD.

זכור שצלע הארוכה יותר תמיד סמוכה לקודקוד.

בניית משוואה

כתיבת המשוואה

מה עושים

נסמן את GD = x. אז AG = 2x

למה

משתמשים ביחס 2:1 כדי לבטא את אחד הקטעים בעזרת השני.

המשוואה מאפשרת חישוב ערך x בעזרת נתון AG.

נוסחה / הצבה

AG = 2 * GDAG = 2 × GDAG = 2 x GD

שימו לב ליחס 2:1 בין הקטעים.

פתרון

חישוב אורך GD

מה עושים

מחליפים AG ב-8 ונחשב: 8 = 2x → x = 4

למה

פתרון המשוואה כדי לקבל את אורך הקטע GD.

קיבלנו את אורך GD באמצעות חלוקה ב-2 מאורך AG.

תשובה

אורך GD

מה עושים

GD = 4 ס"מ

למה

זהו אורך הקטע השני בתיכון בהתאם ליחס 2:1

מסקנה סופית מהפתרון המתמטי.

פתרונות כלליים

בחינת תיכון במשולש: מכיוון ש-D היא אמצע הצלע BC, אז BD = DC = 5 ס"מ. הקטע AD מחבר את הקודקוד A לנקודה האמצעית D בצלע BC ולכן מוגדר כתיכון.
יחס חלקי תיכון בנקודת מפגש: הנקודה G מחלקת את התיכון AD ביחס 2 ל-1 כך ש-AG הוא חלק כפול מ-GD. לכן, GD = AG / 2 = 8 / 2 = 4 ס"מ.
הוכחת שוויון שטח שני המשולשים שנוצרים מתיכון: הגובה משותף משולשים ACD ו-BCD הוא אותו גובה מנקודה C לצלע AB. הבסיס AB מחולק ל-2 ע"י D, לפיכך שטח ACD = חצי בסיס AD × גובה = חצי בסיס BD × גובה = שטח BCD.
נקודת מפגש תיכונים ויחס החלוקה: היחס בין AG ל-GD הוא 2 ל-1, לכן AG = 2 × GD = 2 × 5 = 10 ס"מ.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הקטע GD בתיכון AD

נתון 1

G היא נקודת מפגש של שלושת התיכונים במשולש

הרעיון המרכזי

נסמן את GD = x.

נבנה משוואה

מחליפים AG ב-8 ונחשב: 8 = 2x → x = 4

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון ראשוני

הבנת היחס בנקודת מפגש

כתיבת המשוואה

חישוב אורך GD

אורך GD

פתרונות כלליים