בשיעור זה נלמד על משפט במשולש ישר זווית שבו זווית של 30 מעלות והניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר, התבססות על משפטים הנגררים ממשולשי שווייצלוט, וחשיבות המניעה מהמצאת נתונים בגיאומטריה.
להבין את משפט השלושים במשולש ישר זווית
לדעת ליישם את המשפט להוכחות בבעיות גיאומטריות
להכיר את המשפט ההפוך במשולש ישר זווית ולזהות זווית של 30 מעלות בהתבסס על ניצב שווה למחצית היתר
להכיר ולשמור על קפדנות לא להמציא נתונים בגיאומטריה
משפט השלושים במשולש ישר זווית: משפט קבע כי במשולש ישר זווית שבו אחת הזוויות היא 30 מעלות, הניצב שמול הזווית של 30 שווה למחצית היתר.
המשפט ההפוך: במשולש ישר זווית אם קיים ניצב השווה למחצית היתר, אז הזווית מולו היא 30 מעלות.
חשיבות לא להמציא נתונים: לא להסיק או להוסיף נתונים שלא ניתנו במפורש, כי זה מוביל לטעויות בגיאומטריה.

תרגול קצר

הוכחת משפט הניצב ב30 מעלות

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ישר זווית שבו זווית אחת היא 30 מעלות, הוכח שהניצב שמולם שווה למחצית היתר.

משפט_הניצבמשולש_ישר_זוויתזווית_30_מעלותגיאומטריה

רמז: שימוש במשולשי שווייצלוט להדגמת היחסים בין הצלעות.

פתרון מלא

תשובה סופית: הניצב מול זווית 30 מעלות שווה למחצית היתר במשולש ישר זווית.

נתון משולש ישר זווית עם זווית של 30 מעלות. במשולשים אלו, על פי משפט שווייצלוט, הניצב שמול הזווית של 30 מעלות הוא חצי מהיתר. ניתן להוכיח זאת על ידי שרטוט והצבת סימנים מתאימים, ולראות שלמעשה ניצב זה שווה למחצית היתר.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת משפט הניצב במשולש ישר זווית עם זווית 30 מעלות

הבנת יחסי הצלעות במשולש ישר זווית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הקשר בין הניצב שמול זווית ה-30 לבין היתר
נתון 1
משולש ישר זווית
נתון 2
קיימת זווית של 30 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
שימוש במשולש שווייצלוט וחיבור עובדות כדי להוכיח את יחס הצלעות.
נוסחה
נתייג את הניצב מול זווית 30 כ-x ואת היתר כ-2x
ניצב = 1/2 * יתרניצב = חצי * יתרx = (1)/(2) * h
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחשבים לפי הנתונים שהניצב = חצי מהיתר
מחשבים לפי הנתונים שהניצב = חצי מהיתר
תוצאה
מסיימים בתשובה
המשפט הוכח וצוין כי הניצב הוא חצי מהיתר

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון משולש ישר זווית עם זווית 30

מה עושים

נבחר במשולש ישר זווית כלשהו ונזהה זווית של 30 מעלות בו.

למה

הנתון מאפשר שימוש במשפטים מוכרים על משולשים מיוחדים.

זווית 30 מעלות מובילה ליחסי צלעות מיוחדים.

שרטט את המשולש בצורה ברורה.

בחירת שיטה

הכר את משולש שווייצלוט

מה עושים

נשתמש במשולשים שווים-משלימים הידועים בשם שווייצלוט

למה

משולש שווייצלוט מראה את יחס הצלעות הרצוי.

משולש שווייצלוט הוא משולש ישר זווית עם זווית 30 מעלות.

זכור שמול זווית 30 ניצב שווה למחצית היתר.

בניית משוואה

ייצוג הניצב והיתר

מה עושים

נתייג את הניצב מול זווית 30 כ-x ואת היתר כ-2x

למה

הניצב הוא חצי מהיתר לפי המשפט.

אם הניצב הוא x, אז היתר הוא 2x.

נוסחה / הצבה

ניצב = 1/2 * יתרניצב = חצי * יתרx = (1)/(2) * h

הצבת המשתנים מסייעת לפישוט ההוכחה.

פתרון

הוכחת היחס בין הצלעות

מה עושים

מחשבים לפי הנתונים שהניצב = חצי מהיתר

למה

הוכחת המשפט מתבססת על תוצאה זו

לכן, במשולש ישר זווית עם זווית 30, הניצב מול הזווית הוא חצי מהיתר.

בדוק את הנוסחה באמצעות דוגמא מספרית אם רוצים.

תשובה

המשפט מוכח

מה עושים

המשפט הוכח וצוין כי הניצב הוא חצי מהיתר

למה

זהו המשפט שעליו בנינו את ההוכחה

משפט זה הוא בסיסי להבנת מבני משולשים ישרי זווית עם זווית 30.

אפשר להיעזר בתרשים המשולש לכל הבהרה.

פתרונות כלליים

הוכחת משפט הניצב ב30 מעלות: נתון משולש ישר זווית עם זווית של 30 מעלות. במשולשים אלו, על פי משפט שווייצלוט, הניצב שמול הזווית של 30 מעלות הוא חצי מהיתר. ניתן להוכיח זאת על ידי שרטוט והצבת סימנים מתאימים, ולראות שלמעשה ניצב זה שווה למחצית היתר.

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. גיאומטריה - סוגי משולשים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הקשר בין הניצב שמול זווית ה-30 לבין היתר

משולש ישר זווית

קיימת זווית של 30 מעלות

הרעיון המרכזי

נתייג את הניצב מול זווית 30 כ-x ואת היתר כ-2x

נבנה משוואה

מחשבים לפי הנתונים שהניצב = חצי מהיתר

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון משולש ישר זווית עם זווית 30

הכר את משולש שווייצלוט

ייצוג הניצב והיתר

הוכחת היחס בין הצלעות

המשפט מוכח

פתרונות כלליים