MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
9 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א8. גיאומטריה - סוגי משולשים

וידאו

ב1. גיאומטריה - חפיפת משולשים

וידאו

ב2. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב3. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב5. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב6. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ג1. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג2. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג3. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג4. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג5. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג6. גיאומטריה המרובעים

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בהגדרה ובהוכחות של אנך אמצעי במשולש, בדגש על זיהוי תכונותיו והשלכות גיאומטריות כמו חפיפות משולשים, משולשים שווי שוקיים, ומשפט נקודות על האנך האמצעי.
  • להבין ולהגדיר אנך אמצעי במשולש
  • להוכיח שוויון אורכים באמצעות חפיפת משולשים עם אנך אמצעי
  • להכיר את הקשר בין גובה, תיכון ואנך אמצעי במשולש משוקע
  • לזהות וליישם את המשפט על נקודות על האנך האמצעי במרחקים שווים מקצות הקטע
  • להבין מהו משולש דלטון וכיצד להוכיח קיומו
  • הגדרת אנך אמצעי: אנך אמצעי הוא קטע שיוצא מאמצע קטע אחר ובמאונך אליו.
  • הוכחת שוויון אורכים בעזרת אנך אמצעי: הוכחות שונות לשוויון אורכים המתקבלים מאנך אמצעי, בעיקר באמצעות חפיפת משולשים, משולשים שווי שוקיים ומשפט נקודות על האנך האמצעי.
  • משולש דלטון: דלטון הוא צורה המורכבת משני משולשים שווי שוקיים הבנויים על אותו בסיס, נוצרת כשיש אנך אמצעי עם תכונות מיוחדות.

תרגול קצר

מציאת אורכי קטעים באנך אמצעי

רמת קושי: קל

ממתין

יש לך קטע AB עם אמצע X. הנח שנקודה P נמצאת על האנך האמצעי שמתחיל מ-X. הוכח ש-PA שווה ל-PB.

אנך אמצעיחפיפת משולשיםאורכים שווים

רמז: חשבו על חפיפת משולשים שנוצרים על ידי הקטעים PA ו-PB.

פתרון מלא

תשובה סופית: PA = PB

מחלקים את המשולש ל-2 משולשים עם צלע משותפת XP, זווית של 90 מעלות בצלע האנך האמצעי, ואורכים שווים משני צידי האמצע. לפי חפיפת משולשים צלע זווית צלע, המשולשים חופפים ולכן PA=PB.

הוכחת משולש משוקע בהינתן אנך אמצעי הוא גם גובה

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש ABC, האנך האמצעי של AB עובר גם דרך נקודה D שהיא גובה לתוך המשולש. הוכח כי המשולש ABC הוא משולש משוקע.

גובהתיכוןמשולש משוקעאנך אמצעי

רמז: השתמשו בתכונת האנך האמצעי ובכך שהגובה מתלכד עם התיכון.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולש ABC משוקע

הגובה והתיכון מתלכדים ולכן המשולש ABC הוא משוקע עם צלעות שוות AD=DB, מה שמאמת את התכונה למשולש משוקע.

הוכחת משפט נקודות על האנך האמצעי

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה נקודה P על האנך האמצעי של קטע AB. הוכח כי המרחקים PA ו-PB שווים.

משפטי גיאומטריהאנך אמצעימשולש שווי שוקיים

רמז: השתמשו במשפט החופפים של משולשים שווי שוקיים שהוצאו מהנקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: PA = PB

משולשים PAB המתבטאים על ידי חיבור הנקודה P על האנך האמצעי יוצרים משולשים שווי שוקיים מאחר והאנך יוצא מהאמצע בניצב. לפיכך לפי משפט משולשים שווי שוקיים PA=PB.

הוכחת אנך אמצעי מחלק קטעים שווה

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש עם קטע AB, מבוטא נקודה X שהיא האמצע. נקודה P נמצאת על האנך האמצעי. הוכח ש-PA=PB והסבר את משמעות הדבר לגבי צורת המשולש.

אנך אמצעימשולש שווי שוקייםחפיפת משולשים

רמז: השתמש במשפט על נקודות על אנך אמצעי ובחפיפת משולשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: PA=PB; המשולש מורכב משני משולשים שווי שוקיים

על פי הגדרה, נקודה על האנך האמצעי שווה במרחקה מקצות הקטע AB. חפיפת המשולשים המצטיירים מובילה ל-PA=PB, המשמעות שהמשולש יוצר שני משולשים שווי שוקיים עם בסיס AB.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: הוכחת שוויון אורכים באמצעות אנך אמצעי

בעזרת חפיפת משולשים ונקודה על האנך האמצעי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכחת שוויון אורכים PA ו-PB

  2. נתון 1

    קטע AB

  3. נתון 2

    נקודת אמצע X של AB

  4. נתון 3

    נקודה P על האנך האמצעי מאמצע X

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להראות שחלקי המשולש הנוצרים מתלכדים באמצעות חפיפת משולשים ונקודות על האנך האמצעי

  6. נוסחה

    AX = BX (אמצע), זווית XP perpendicular = 90 מעלות, XP משותף לשני

    AX = BXזווית XP = 90 מעלותXP משותףAX=BX, XP=90^, XP \משותף
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    משלימים שהמשולשים APX ו-BPX חופפים

    משלימים שהמשולשים APX ו-BPX חופפים

    PA = PB

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

יש קטע AB ונקודת אמצע X, ונקודה P על האנך האמצעי היוצא מ-X

למה

נתונים אלה מהווים בסיס לתרגיל כדי להוכיח שוויון אורכים

סרטט קטע AB עם אמצע X ונקודה P על האנך האמצעי היוצא מ-X

וודא שמצוין שהאנך יוצא מהמנחה במאונך

2

בחירת שיטה

חפיפת משולשים

מה עושים

מחלקים לשני משולשים: APX ו-BPX

למה

כדי להראות ששני המשולשים חופפים ולפיכך הצלעות PA ו-PB שוות

המשולשים כוללים צד משותף XP, זווית ישרה, וצלעות שוות AX=BX

השתמש בחפיפת משולשים מסוג צלע-זווית-צלע

3

בניית משוואה

הגדרת המשוואות להוכחה

מה עושים

AX = BX (אמצע), זווית XP perpendicular = 90 מעלות, XP משותף לשני המשולשים

למה

הנתונים מאפשרים להוכיח חפיפה בין שתי המשולשים

המשולשים חופפים לפי צלע-זווית-צלע

נוסחה / הצבה

AX = BXזווית XP = 90 מעלותXP משותףAX=BX, XP=90^, XP \משותף

יש לשים לב להכליל את כל המרכיבים הנדרשים לחפיפת משולשים

4

פתרון

הוכחת חפיפת המשולשים

מה עושים

משלימים שהמשולשים APX ו-BPX חופפים

למה

כיון שהם חופפים, הצלעות המתאימות שוות, ולכן PA=PB

לפי החפיפה, שוויון אורכים PA=PB מתקיים

נוסחה / הצבה

PA = PB

זוהי התוצאה העיקרית המבוקשת בתרגיל

5

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

PA ו-PB שווים, כלומר נקודה על האנך האמצעי שומרת על שוויון מרחק מקצות הקטע

למה

אישור יישום המשפט על נקודות באנך האמצעי

סיכום ההוכחה ומסקנותיה לגבי שוויון אורכים ויישום גיאומטרי

זכור שזוהי תכונה מרכזית באנך האמצעי

פתרונות כלליים

  • מציאת אורכי קטעים באנך אמצעי: מחלקים את המשולש ל-2 משולשים עם צלע משותפת XP, זווית של 90 מעלות בצלע האנך האמצעי, ואורכים שווים משני צידי האמצע. לפי חפיפת משולשים צלע זווית צלע, המשולשים חופפים ולכן PA=PB.
  • הוכחת משולש משוקע בהינתן אנך אמצעי הוא גם גובה: הגובה והתיכון מתלכדים ולכן המשולש ABC הוא משוקע עם צלעות שוות AD=DB, מה שמאמת את התכונה למשולש משוקע.
  • הוכחת משפט נקודות על האנך האמצעי: משולשים PAB המתבטאים על ידי חיבור הנקודה P על האנך האמצעי יוצרים משולשים שווי שוקיים מאחר והאנך יוצא מהאמצע בניצב. לפיכך לפי משפט משולשים שווי שוקיים PA=PB.
  • הוכחת אנך אמצעי מחלק קטעים שווה: על פי הגדרה, נקודה על האנך האמצעי שווה במרחקה מקצות הקטע AB. חפיפת המשולשים המצטיירים מובילה ל-PA=PB, המשמעות שהמשולש יוצר שני משולשים שווי שוקיים עם בסיס AB.
הפריט הקודםהפריט הבא