MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
12 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב3. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב5. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב6. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ג1. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג2. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג3. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג4. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג5. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג6. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג7. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ד1. גיאומטריה כתיבת הוכחה

וידאו

ד2. גיאומטריה כתיבת הוכחה

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק במפגש חוצי הזווית במשולש, תכונות מרכז המעגל החסום, זיהוי המרכז וטעויות נפוצות בסרטוטים. מציגים כיצד חוצה הזווית השלישי עובר בנקודת מפגש שתי חוצה הזוויות האחרות, ומבינים את הקשר בין הרדיוס החסום לשטח והיקף המשולש.
  • להבין מהו חוצה זווית במשולש וכיצד הוא מתנהג
  • להכיר את נקודת מפגש חוצי הזווית ומאפייניה
  • להבין ומדוע חוצה הזווית השלישי עובר בנקודת מפגש השניים האחרים
  • להכיר את מרכז המעגל החסום והמשמעות של המרחקים השווים מנקודה זו לצלעות המשולש
  • להבחין בין מרכז המעגל החסום לנקודת מפגש אנכים ולמנוע טעויות נפוצות
  • ללמוד נוסחה מתמטית שמשייכת בין השטח, הרדיוס החסום והיקף המשולש
  • מפגש חוצה הזווית במשולש: הסבר ושרטוט חוצה זווית לשתי זוויות במשולש וקביעת נקודת המפגש שלהם. מראה שהמרחקים מנקודת המפגש לצלעות שוות בזווית של 90 מעלות.
  • המרכז של המעגל החסום במשולש: תכונות נקודת מפגש חוצי הזווית כמרכז המעגל החסום, המרחקים לצלעות שווים, והמעגל החסום נשרטט מסביב לנקודה זו.
  • טעויות נפוצות בשרטוטים של המעגל החסום: הבחנה בין נקודת מפגש חוצה הזווית לבין נקודת מפגש האנכים לצלעות, והטעות הנפוצה בלבלבל ביניהן בשרטוט.

תרגול קצר

זיהוי נקודת מפגש חוצה הזוויות במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC, העבר את חוצה הזווית ב-A וב-B. סמן את נקודת המפגש ואל תעביר את החוצה הזווית השלישי. הסבר מדוע חוצה הזווית השלישי עובר גם הוא בנקודה זו.

חוצי זוויתמשולשמפגש חוצה זווית

רמז: השתמש בתכונה שהמרחקים מנקודת המפגש לצלעות הם שווים ובכך נראה שהחוצה השלישי חייב לעבור שם.

פתרון מלא

תשובה סופית: חוצה הזווית השלישי תמיד עובר בנקודת המפגש של שני חוצה הזוויות האחרות.

הראנו שכל המרחקים מנקודת המפגש לצלעות שווים ולכן נוצר חפיפה בין המשולשים הקטנים. חוצה הזווית השלישי חייב לעבור בנקודה זו כי אחרת לא היה שוויון מרחקים זה.

חישוב מרכז המעגל החסום במשולש

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון משולש ABC. האם הנקודה שבמפגש חוצה הזוויות נמצאת במרחק שווה מכל הצלעות? הסבר והראה כיצד נקודת מפגש החוצה היא מרכז המעגל החסום.

מרכז מעגל חסוםחוצי זוויתגיאומטריה

רמז: סמן חוצה זווית בשני קודקודים, סמן את נקודת החיתוך, הורד אנכים מהנקודה לצלעות והראה ששווים במרחקם.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת מפגש חוצה הזוויות במשולש היא מרכז המעגל החסום והמרחקים לצלעות שווים.

נקודת מפגש שני חוצה הזוויות נמצאת במרחק שווה מכל הצלעות במשולש ולכן היא מרכז המעגל החסום.

הוכחת נוסחה לשטח המשולש באמצעות רדיוס המעגל החסום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח כי שטח משולש ABC שווה למחצית מכפלת רדיוס המעגל החסום בהיקף המשולש, כלומר S = r * p / 2.

שטח משולשמעגל חסוםרדיוס חסום

רמז: חלק את המשולש לשלושה משולשים קטנים עם הרדיוס כגובה, סכום השטחים שווה לשטח הכולל.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח המשולש שווה למחצית מכפלת הרדיוס החסום בהיקף המשולש.

שטח המשולש הוא סכום של שלושה משולשים עם בסיס הצלעות וגובה רדיוס החסום. כך S = r*c/2 + r*b/2 + r*a/2 = r * (a+b+c)/2 = r * p / 2.

נקודת מפגש חוצה הזוויות וטעויות בשרטוט

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC מציירים את חוצה הזוויות ומצוינת נקודת מפגשם כמרכז המעגל החסום. ציין מה הטעות הנפוצה בשרטוטים אלו ומה יש לבדוק כדי למנוע בלבול בין נקודת מפגש חוצה הזווית ונקודת מפגש האנכים לצלעות.

טעויות בשרטוטחוצה זוויתמרכז מעגל חסום

רמז: קרא בקפידה את ההבדלים בין נקודות החריטה וחפוף את המשולש כדי להבין את הפונקציות של כל נקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: יש להבדיל ולשמור שהמרכז הוא נקודת מפגש חוצה הזווית בלבד, לא אנכי, זהו מרכז המעגל החסום.

טעות נפוצה היא לבלבל בין נקודת מפגש חוצה הזווית לבין נקודת מפגש האנכים לצלעות כי שתיהן חותכות את צלעות המשולש, אך הן שונות במיקומן. יש לבדוק זוויות של 90 מעלות והמרחקים כדי לאבחן נכון את המרכז הרצוי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא את מרכז המעגל החסום במשולש

מפגש חוצה הזוויות ומשמעותו

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודת המפגש של חוצה הזווית (G) / הסבר למה חוצה הזווית השלישי עובר בנקודה זו / כיצד

  2. נתון 1

    משולש ABC כללי

  3. נתון 2

    חוצה זווית ב-A וחוצה זווית ב-B מעבירים נקודה G

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להראות ש-G שווה במרחק לצלעות ונמצא במפגש שתי חוצה הזוויות, לכן נקודת מפגש השלישי חוצה זווית עובר

  5. נוסחה

    הורד אנכים מנקודה G לצלעות

    d_GA = d_GB = d_GC
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    הראה שחוצה הזווית ב-C עובר דרך G

    הראה שחוצה הזווית ב-C עובר דרך G

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    הסבר ש-G הוא מרכז המעגל החסום במשולש

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

שרטט משולש וחוצה זוויות

מה עושים

שרטט את המשולש ABC והעבר את חוצה הזווית ב-A וב-B

למה

כדי למצוא את נקודת מפגש החוצה בין שתי זוויות במשולש

שרטט משולש ABC, סמן את חוצה הזווית ב-A עם סימון אלפא, ואת חוצה הזווית ב-B עם סימון בטא

בחר נקודות ברורות על המשולש לשרטוט קריא

2

בחירת שיטה

זיהוי נקודת מפגש הגאומטרית

מה עושים

מצא את נקודת המפגש G של חוצה הזוויות ב-A ו-B

למה

מפגש שני חוצה הזוויות נמצא בנקודה אחת

נקודת G היא החיתוך של שני חוצה הזווית, ניתן להוכיח שהיא באותו מרחק מהצלעות המקבילות להם

בדוק עם סרגל זווית שוויון זוויות וקטעים

3

בניית משוואה

מרחקים שווים מנקודה לצלעות

מה עושים

הורד אנכים מנקודה G לצלעות

למה

מרחקים אנכיים לצלעות מ-G שווים

האנכים מ-G לצלעות מקיימים שוויון אחיד בין המרחקים, כלומר מרחקי G מהצלעות שווים

נוסחה / הצבה

d_GA = d_GB = d_GC

שימוש בזווית ישרה להנחת האנכים

4

פתרון

חוצה הזווית השלישי חוצה בנקודה G

מה עושים

הראה שחוצה הזווית ב-C עובר דרך G

למה

כי כל המרחקים מ-G שוות ולכן חוצה הזווית השלישית חייבת לעבור בנקודה זו

על ידי חפיפת משולשים ויחס שוויון מרחקים, הוכח שחוצה הזווית השלישית עובר בנקודה G

אפשר להשתמש במשפט צלע-זווית-צלע

5

תשובה

נקודת מפגש חוצה הזווית היא מרכז המעגל החסום

מה עושים

הסבר ש-G הוא מרכז המעגל החסום במשולש

למה

מרחקי G לצלעות שוויוניים והרדיוס של המעגל הוא המרחק הזה

כיוון שמרחקי G מהצלעות שווים, G הוא מרכז המעגל החסום ומרחק זה הוא רדיוס המעגל

שרטט את המעגל החסום סביב G ושמור על זוויות 90 מעלות להמחשה

פתרונות כלליים

  • זיהוי נקודת מפגש חוצה הזוויות במשולש: הראנו שכל המרחקים מנקודת המפגש לצלעות שווים ולכן נוצר חפיפה בין המשולשים הקטנים. חוצה הזווית השלישי חייב לעבור בנקודה זו כי אחרת לא היה שוויון מרחקים זה.
  • חישוב מרכז המעגל החסום במשולש: נקודת מפגש שני חוצה הזוויות נמצאת במרחק שווה מכל הצלעות במשולש ולכן היא מרכז המעגל החסום.
  • הוכחת נוסחה לשטח המשולש באמצעות רדיוס המעגל החסום: שטח המשולש הוא סכום של שלושה משולשים עם בסיס הצלעות וגובה רדיוס החסום. כך S = r*c/2 + r*b/2 + r*a/2 = r * (a+b+c)/2 = r * p / 2.
  • נקודת מפגש חוצה הזוויות וטעויות בשרטוט: טעות נפוצה היא לבלבל בין נקודת מפגש חוצה הזווית לבין נקודת מפגש האנכים לצלעות כי שתיהן חותכות את צלעות המשולש, אך הן שונות במיקומן. יש לבדוק זוויות של 90 מעלות והמרחקים כדי לאבחן נכון את המרכז הרצוי.
הפריט הקודםהפריט הבא