המעגל מוגדר ככלל הנקודות במישור שנמצאות במרחק קבוע מהרדיוס מהמרכז. נלמד כיצד לכתוב ולזהות משוואת מעגל בצורה סטנדרטית ומורחבת, כיצד לחלץ את מרכז המעגל ורדיוסו, וכיצד לשחזר משוואת מעגל משוואה מורחבת באמצעות השלמת ריבוע.
להבין את הגדרה וייצוג מעגל במישור XY
לכתוב את משוואת המעגל במבנה הסטנדרטי
לזהות מרכז המעגל ורדיוסו מהמשוואה הסטנדרטית
להבחין בין מרכז המעגל במשוואה לבין הערכים הכתובים (חובה לשים לב לסימן ההפוך)
לבצע השלמת ריבוע לשחזור משוואת המעגל ממשוואה במבנה מורחב
הגדרה ומשוואת המעגל: מעגל הוא קבוצת נקודות במישור שהמרחק ביניהן למרכז המעגל הוא רדיוס קבוע. משוואת המעגל מוגדרת על ידי המרחק בין נקודה כלשהי למרכז המעגל בריבוע שווה לריבוע הרדיוס.
זיהוי מרכז ורדיוס במשוואה סטנדרטית: משוואת המעגל בכתיבה סטנדרטית מאפשרת זיהוי קל של המרכז והרדיוס. המרכז מצוין בערכים a,b אך בסימן הפוך, והרדיוס הוא השורש הריבועי של הקבוע בצד הימני.
שחזור משוואת המעגל באמצעות השלמת ריבוע: כאשר משוואת המעגל נתונה במבנה מורחב שאינו סטנדרטי, נדרש לבצע השלמת ריבוע על ביטויי x ועל ביטויי y בנפרד על מנת לשחזר את המשוואה לצורה הסטנדרטית.

תרגול קצר

זיהוי מרכז ורדיוס ממשוואת מעגל סטנדרטית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה (x-3) בריבוע + (y+2) בריבוע = 49. מצא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.

מעגלמרכזרדיוסמשוואה סטנדרטית

רמז: המרכז הוא הנקודה עם ההפך של הערכים בתוך הסוגריים. הרדיוס הוא השורש של המספר בצד ימין.

פתרון מלא

תשובה סופית: מרכז המעגל: (3,-2) הרדיוס: 7

המרכז הוא (3,-2), כיוון ש-x-3 אומר a=3 ו-y+2 משמעותו b=-2. הרדיוס הוא שורש 49 = 7.

שחזור משוואת מעגל ממשוואה מורחבת

רמת קושי: בינוני

ממתין

שחזר את משוואת המעגל וציין את המרכז והרדיוס למשוואה ההפשטה: x בריבוע - 6x + y בריבוע + 8y = -9

שחזור משוואההשלמת ריבועמעגלמרכזרדיוס

רמז: הכין תבנית כתיבה והשלם ריבועים על ביטויי x ו-y בנפרד, אל תשכח להוסיף את הערכים לשני האגפים.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת המעגל: (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 מרכז: (3,-4) רדיוס: 4

1. קבוצה את המשתנים: (x בריבוע - 6x) + (y בריבוע + 8y) = -9 2. חלק ב-2 מקדמי x ו-y: -6/2 = -3, 8/2 = 4 3. העלה בריבוע: (-3)^2 = 9, 4^2 = 16 4. הוסף 9 ו-16 לשני האגפים: (x בריבוע -6x +9) + (y בריבוע +8y +16) = -9 + 9 +16 5. הצג כמשוואת מעגל: (x -3)^2 + (y +4)^2 = 16 המרכז (3,-4), הרדיוס 4.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לחישוב מרכז ורדיוס משוואת מעגל מורחבת

השלמת ריבוע לשחזור משוואת המעגל וקביעת המרכז והרדיוס

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המעגל הסטנדרטית / מרכז המעגל (a,b) / רדיוס המעגל r
נתון 1
נתון 1
משוואה מורחבת של מעגל: x בריבוע - 6x + y בריבוע + 8y = -9
רעיון
הרעיון המרכזי
השלם ריבועים בנפרד עבור x ו-y כדי להסיר את המקדמים הליניאריים ולהגיע לצורה הסטנדרטית של משוואת
נוסחה
חלק את מקדם x ו-y ב-2 והעלה בריבוע כל תוצאה
-6 / 2 = -3-3 ^ 2 = 98 / 2 = 44 ^ 2 = 16
משוואה
קבל את המשוואה במבנה מורחב עם ביטויי x ו-y בריבוע ומקדמים ליניאריים
קבל את המשוואה במבנה מורחב עם ביטויי x ו-y בריבוע ומקדמים ליניאריים
פישוט
הוסף את 9 ו-16 לשני האגפים וכתוב את המשוואה בצורת ריבועים מושלמים
הוסף את 9 ו-16 לשני האגפים וכתוב את המשוואה בצורת ריבועים מושלמים
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16
תוצאה
מסיימים בתשובה
קרא את מרכז המעגל מהריבועים המושלמים ואת הרדיוס כשורש המספר בצד ימין
בדיקה
בדיקה קצרה
- קיבוץ ביטויים לפי משתנה
- חישוב חצי המקדם והריבוע שלו
- זהירות: שכחה להוסיף את ערכי השלמת הריבוע לשני אגפי המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

משוואת המעגל הנתונה

מה עושים

קבל את המשוואה במבנה מורחב עם ביטויי x ו-y בריבוע ומקדמים ליניאריים

למה

זו נקודת המוצא לחישוב המרכז והרדיוס

x בריבוע - 6x + y בריבוע + 8y = -9

בחירת שיטה

הכנת המשוואה להשלמת ריבוע

מה עושים

קבץ את המשתנים x ו-y בנפרד ו/או הכן את התבנית להשלמת ריבוע

למה

השלמת ריבוע מתבצעת על כל משתנה בנפרד

(x בריבוע - 6x) + (y בריבוע + 8y) = -9

שמור מקום לשני השלמות ריבוע לצד ימין של המשוואה

בניית משוואה

חישוב ערכי השלמת הריבוע

מה עושים

חלק את מקדם x ו-y ב-2 והעלה בריבוע כל תוצאה

למה

אלמנטים אלו משמשים להשלמה בטוחה של הריבוע

-6 חלקי 2 = -3 → (-3)^2 = 9 8 חלקי 2 = 4 → 4^2 = 16

נוסחה / הצבה

-6 / 2 = -3-3 ^ 2 = 98 / 2 = 44 ^ 2 = 16

זכור להוסיף את הערכים גם לצד שני של המשוואה

פתרון

הוספת הערכים והנגשת המשוואה הסטנדרטית

מה עושים

הוסף את 9 ו-16 לשני האגפים וכתוב את המשוואה בצורת ריבועים מושלמים

למה

המשוואה צברה צורה נוחה להבנת מרכז המעגל ורדיוסו

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

נוסחה / הצבה

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

בדיקה

קביעת המרכז והרדיוס

מה עושים

קרא את מרכז המעגל מהריבועים המושלמים ואת הרדיוס כשורש המספר בצד ימין

למה

כך מזהים את הנתונים הגאומטריים הדרושים

מרכז: (3,-4), רדיוס: 4

פתרונות כלליים

זיהוי מרכז ורדיוס ממשוואת מעגל סטנדרטית: המרכז הוא (3,-2), כיוון ש-x-3 אומר a=3 ו-y+2 משמעותו b=-2. הרדיוס הוא שורש 49 = 7.
שחזור משוואת מעגל ממשוואה מורחבת: 1. קבוצה את המשתנים: (x בריבוע - 6x) + (y בריבוע + 8y) = -9 2. חלק ב-2 מקדמי x ו-y: -6/2 = -3, 8/2 = 4 3. העלה בריבוע: (-3)^2 = 9, 4^2 = 16 4. הוסף 9 ו-16 לשני האגפים: (x בריבוע -6x +9) + (y בריבוע +8y +16) = -9 + 9 +16 5. הצג כמשוואת מעגל: (x -3)^2 + (y +4)^2 = 16 המרכז (3,-4), הרדיוס 4.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה1. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת המעגל הסטנדרטית / מרכז המעגל (a,b) / רדיוס המעגל r

נתון 1

הרעיון המרכזי

חלק את מקדם x ו-y ב-2 והעלה בריבוע כל תוצאה

קבל את המשוואה במבנה מורחב עם ביטויי x ו-y בריבוע ומקדמים ליניאריים

הוסף את 9 ו-16 לשני האגפים וכתוב את המשוואה בצורת ריבועים מושלמים

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

משוואת המעגל הנתונה

הכנת המשוואה להשלמת ריבוע

חישוב ערכי השלמת הריבוע

הוספת הערכים והנגשת המשוואה הסטנדרטית

קביעת המרכז והרדיוס

פתרונות כלליים