MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הנדסה אנליטית

ה9. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפירוק ובפתרון משוואות מעגלים באמצעות מתמטיקה אנליטית, כאשר הפחתת משוואות מעגלים ושימוש בנוסחאות מאפשרים למצוא נקודות חיתוך ויחסים בין המעגלים.
  • להבין איך לפרק משוואת מעגל בשיטה של הפחתה בין משוואות מעגלים
  • להכיר את טכניקת הפתיחה והפישוט של ביטויים ריבועיים במשתנים X ו-Y
  • ליישם שיטות אלגבריות כדי להגיע למשוואה ליניארית כפונקציה של משתנה אחד ולהציב מחדש
  • לפתור משוואות ריבועיות בהקשר גאומטרי למציאת נקודות חיתוך
  • הצגת הבעיה והפחתת משוואות המעגלים: השיעור מתחיל בתהליך החיסור בין משוואות מעגליים כדי לפשט את הביטוי ולהוציא את רכיבי X בריבוע ו-Y בריבוע מהמשוואה.
  • פישוט המשוואה והצבה מחדש של משתנים: לאחר הפחתת הביטוי מתקבלת משוואה בה יש רק משתנים X ו-Y ומספרים. נעשית בודדת של X כפונקציה של Y ופלישה מחדש למשוואות המקוריות.

תרגול קצר

פתיחת סוגריים במשוואת מעגל

רמת קושי: קל

ממתין

פתחו את הסוגריים במשוואה (X - 1)^2 - (X - 4)^2 + (Y + 3)^2 - (Y + 12)^2 = 40 - 10 בעזרת הרחבת ריבועים.

פתיחת סוגרייםמשוואת מעגלפישוט

רמז: זכרו את נוסחת ריבוע הפרש: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

פתרון מלא

תשובה סופית: 6X - 18Y = 180

ראשית מחשבים את (X-1)^2 = X^2 - 2X + 1, (X-4)^2 = X^2 - 8X + 16, כך שההפרש הוא (X^2 - 2X +1) - (X^2 - 8X +16) = 6X - 15. פעולה דומה נעשית על אגף Y: (Y+3)^2 = Y^2 + 6Y +9, (Y+12)^2 = Y^2 + 24Y + 144, ההפרש: (Y^2 +6Y +9) - (Y^2 +24Y +144) = -18Y -135. משוואת השיוויון היא: (6X - 15) + (-18Y - 135) = 40 -10, כלומר 6X -18Y -150 = 30, מקבלים 6X - 18Y = 180.

מציאת y ממערכות משוואות מעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה המשוואה 6X - 18Y = 180. הבדילו ובודדו את X כפונקציה של Y.

בודד משתנהמשוואות ליניאריות

רמז: פתרו את המשוואה עבור X.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = 30 + 3Y

6X - 18Y = 180 => 6X = 180 + 18Y => X = 30 + 3Y.

הצבה ומציאת y במשוואה ריבועית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הציבו את X ממערכת המשוואה X = 30 + 3Y במשוואת המעגל (X-1)^2 + (Y+3)^2 = 4Y ופתרו עבור Y.

הצבהמשוואה ריבועיתפתרון

רמז: הרחיבו את הביטויים, הביאו למשוואה ריבועית ב-Y ופתרו.

פתרון מלא

תשובה סופית: Y = -9

מניחים X=30+3Y, נציב במשוואה: (30 + 3Y -1)^2 + (Y + 3)^2 = 4Y. פותחים סוגריים: (29 + 3Y)^2 + (Y +3)^2 = 4Y. מחשבים: 841 + 174Y + 9Y^2 + Y^2 + 6Y + 9 = 4Y. מאחדים: 10Y^2 + 180Y + 850 = 4Y => 10Y^2 + 176Y + 850 = 0. פותרים משוואה ריבועית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואת מעגל עם חיסור מעגלים

שלבים לפירוק המשוואה ומציאת Y

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך Y המתאים למשוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    (X-1)^2-(X-4)^2 + (Y+3)^2-(Y+12)^2 = 40-10
  3. נתון 2

    נתון 2

    נוסחת ריבוע הפרש (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    פתח את הסוגריים, פשט את הביטויים, הצב ובדוק את הפתרונות באמצעות משוואות אלגבריות.

  5. נוסחה

    בודדים את X בקירובית המשוואה X = 30 + 3Y

    6X - 18Y = 1806X = 180 + 18YX = 30 + 3Y
  6. משוואה

    המשוואה הנתונה היא חיסור בין ריבועים של ביטויים עם X ו-Y

    המשוואה הנתונה היא חיסור בין ריבועים של ביטויים עם X ו-Y

  7. פישוט

    חישוב הביטויים המורחבים של X ו-Y למשוואה חדשה

    חישוב הביטויים המורחבים של X ו-Y למשוואה חדשה

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    חיבור וחיסור האיברים והעברתם לאגף אחד של המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

משוואת מעגל חיסור

מה עושים

המשוואה הנתונה היא חיסור בין ריבועים של ביטויים עם X ו-Y

למה

שוברים את המשוואה כדי להגיע למשוואה פשוטה יותר

(X-1)^2-(X-4)^2 + (Y+3)^2-(Y+12)^2 = 40-10

2

בחירת שיטה

יישום נוסחת ריבוע הפרש

מה עושים

פתח את הסוגריים בעזרת הנוסחה (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

למה

כדי לפרק את הביטויים הריבועיים לפונקציות של X ו-Y

היזהר בסימני מינוס והעבר נכון את האיברים.

3

בניית משוואה

הרחבת הביטויים למשוואה מפושטת

מה עושים

חישוב הביטויים המורחבים של X ו-Y למשוואה חדשה

למה

מעבר ממשוואה מורכבת למשוואה ליניארית פשוטה

(X-1)^2 = X^2 - 2X + 1, (X-4)^2 = X^2 -8X +16, (Y+3)^2 = Y^2 + 6Y + 9, (Y+12)^2 = Y^2 + 24Y +144

השמט את האיברים המשותפים כמו X בריבוע ו-Y בריבוע לאחר ההפחתה.

4

פתרון

פישוט ושילוב המספרים

מה עושים

חיבור וחיסור האיברים והעברתם לאגף אחד של המשוואה

למה

כדי להשיג משוואה של צורת 6X - 18Y = 180

6X - 15 - 18Y - 135 = 30 => 6X - 18Y = 180

שימו לב לרגע בו איברים ריבועיים מתבטלים.

5

תשובה

בודדים X כפונקציה של Y

מה עושים

בודדים את X בקירובית המשוואה X = 30 + 3Y

למה

לשלב אותו להצבה מחדש ולמצוא את Y

נוסחה / הצבה

6X - 18Y = 1806X = 180 + 18YX = 30 + 3Y

פישוט נכון מוביל לגילוי ערכי המשתנה.

פתרונות כלליים

  • פתיחת סוגריים במשוואת מעגל: ראשית מחשבים את (X-1)^2 = X^2 - 2X + 1, (X-4)^2 = X^2 - 8X + 16, כך שההפרש הוא (X^2 - 2X +1) - (X^2 - 8X +16) = 6X - 15. פעולה דומה נעשית על אגף Y: (Y+3)^2 = Y^2 + 6Y +9, (Y+12)^2 = Y^2 + 24Y + 144, ההפרש: (Y^2 +6Y +9) - (Y^2 +24Y +144) = -18Y -135. משוואת השיוויון היא: (6X - 15) + (-18Y - 135) = 40 -10, כלומר 6X -18Y -150 = 30, מקבלים 6X - 18Y = 180.
  • מציאת y ממערכות משוואות מעגל: 6X - 18Y = 180 => 6X = 180 + 18Y => X = 30 + 3Y.
  • הצבה ומציאת y במשוואה ריבועית: מניחים X=30+3Y, נציב במשוואה: (30 + 3Y -1)^2 + (Y + 3)^2 = 4Y. פותחים סוגריים: (29 + 3Y)^2 + (Y +3)^2 = 4Y. מחשבים: 841 + 174Y + 9Y^2 + Y^2 + 6Y + 9 = 4Y. מאחדים: 10Y^2 + 180Y + 850 = 4Y => 10Y^2 + 176Y + 850 = 0. פותרים משוואה ריבועית.
הפריט הקודםהפריט הבא