וידאו · הנדסה אנליטית
ה10. הנדסה אנליטת משוואת המעגל
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מסביר כיצד למצוא את מרכז ורדיוס המעגל מתוך משוואה ריבועית במשתנים, תוך הימנעות מחשיבות מיותרת למציאת נקודות ספציפיות. מודגש שימוש בשיטת השלם ריבוע לעיבוד המשוואה והסקת תוצאות במהירות וביעילות.
- לזהות את משוואת המעגל הכללית ולהפוך אותה לצורה מרכזית
- לחשב את מרכז המעגל ורדיוסו באמצעות השלמת ריבוע
- להבין מתי לא לנסות למצוא נקודות בצורה מיותרת בהנדסה אנליטית
- לחזק יכולות פישוט משוואות וניתוח גאומטרי
- ליישם את משפט פיתגורס לחישוב מרחק בין נקודות
- הדחף הראשוני למציאת נקודות: הסבר על ההטייה הטבעית שיש לצעירים למצוא נקודות במישור כשנדרש פתרון, אך דבר זה עלול להקשות ולסכל את הפתרון היעיל.
- עיבוד משוואת המעגל: פירוק המשוואה הכוללת משתני X, Y, וקבועים לשם השלמת ריבוע וניסוח המשוואה באופן שמאפשר חילוץ מרכז המעגל והרדיוס בקלות.
- חישוב המרחק ללא מציאת נקודות: הדגמה שמוצגת כיצד לחשב מרחק בין נקודות מבלי למצוא את הנקודות במפורש, תוך שימוש במשפט פיתגורס ובהצבת ערכים ישירים.
תרגול קצר
מציאת מרכז ורדיוס המעגל מהמשוואה
רמת קושי: קל
נתונה המשוואה: x^2 - 22x + y^2 - 14y - 145 = 0. מצא את מרכז המעגל ואת רדיוסו.
רמז: השתמש בשיטת השלמת ריבוע עבור x ו-y ואז השווה למשוואת מעגל מרכזית.
פתרון מלא
תשובה סופית: מרכז המעגל: (11,7), רדיוס: 5√13
נכתוב את המשוואה עם ריבוע שלמים: Для x: נחלק את -22 ב-2 = -11, ונריבוע: (-11)^2 = 121. לתוך המשוואה מוסיפים ומחסרים 121 Для y: נחלק את -14 ב-2 = -7, ונריבוע: (-7)^2 = 49. מוסיפים ומחסרים 49 המשוואה הופכת ל: (x - 11)^2 - 121 + (y - 7)^2 - 49 - 145 = 0 נחבר צדדים קבועים: -121 - 49 - 145 = -315 לכן: (x - 11)^2 + (y - 7)^2 = 315 רדיוס = שורש 315 = 5*sqrt(13), מרכז: (11,7)
דרך הפתרון
מצא מרכז ורדיוס המעגל
שימוש בשיטת השלמת ריבוע
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מרכז המעגל (h,k) / רדיוס המעגל r
- נתון 1
נתון 1
משוואת המעגל הכללית x² - 22x + y² - 14y - 145 = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בשיטת השלמת ריבוע עבור x ו-y לשם הגעה למשוואת המעגל במרכז וצורת רדיוס.
- נוסחה
רשום את המשוואה לאחר השלמת הריבועים והעבר את הקבועים לצד ימין.
(x - 11)^2 + (y - 7)^2 = 315 - משוואה
קרא את המשוואה הנתונה של המעגל.
קרא את המשוואה הנתונה של המעגל.
- פישוט
חשב שורש ערך הימני במשוואה.
חשב שורש ערך הימני במשוואה.
r = sqrt(315) = 5 sqrt(13)r = 315 = 5 13 - תוצאה
מסיימים בתשובה
כתוב את מרכז המעגל והרדיוס כמספרים.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם חילקת את מקדמי x ו-y ב-2?
- האם הוספת והסרת את הערכים המתאימים במשוואה?
- זהירות: שכחה להוסיף ולהחסיר את הערך המוסף בעת השלמת הריבוע
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים ראשוניים
זיהוי נתונים
נתונים ראשוניים
מה עושים
קרא את המשוואה הנתונה של המעגל.
למה
זו המשוואה שתעובד בשיטה של השלמת ריבוע.
2בחירת שיטה
השלם ריבוע למשתנה x
בחירת שיטה
השלם ריבוע למשתנה x
מה עושים
חלק את המקדם של x ב-2, וריבע אותו.
למה
כך ניצור ביטוי ריבועי של x בצורת (x - h)^2.
-22 חלקי 2 הוא -11, ריבוע של -11 הוא 121.
זכור להוסיף ולחסר את הערך המתאים במשוואה.
3בחירת שיטה
השלם ריבוע למשתנה y
בחירת שיטה
השלם ריבוע למשתנה y
מה עושים
חזור על התהליך גם עבור y.
למה
כמו עבור x, ניצור את הצורה המלאה של (y - k)^2.
-14 חלקי 2 הוא -7, ריבוע של -7 הוא 49.
שים לב להוספה והחסרה במשוואה.
4בניית משוואה
בנה משוואת המעגל במרכז וצורת רדיוס
בניית משוואה
בנה משוואת המעגל במרכז וצורת רדיוס
מה עושים
רשום את המשוואה לאחר השלמת הריבועים והעבר את הקבועים לצד ימין.
למה
כעת המשוואה מקבלת את הצורה (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
(x - 11)^2 + (y - 7)^2 = 121 + 49 + 145 = 315.
נוסחה / הצבה
(x - 11)^2 + (y - 7)^2 = 3155פתרון
חשב את הרדיוס
פתרון
חשב את הרדיוס
מה עושים
חשב שורש ערך הימני במשוואה.
למה
הרדיוס הוא שורש ריבוע המסומן במשוואה.
שורש של 315 הוא 5 שורש 13.
נוסחה / הצבה
r = sqrt(315) = 5 sqrt(13)r = 315 = 5 13ניתן לפרק לשורש של המספרים המרכיבים ליעילות.
6תשובה
רשום את התוצאה הסופית
תשובה
רשום את התוצאה הסופית
מה עושים
כתוב את מרכז המעגל והרדיוס כמספרים.
למה
זו התוצאה המבוקשת.
מרכז המעגל הוא (11,7) והרדיוס הוא 5 שורש 13.
פתרונות כלליים
- מציאת מרכז ורדיוס המעגל מהמשוואה: נכתוב את המשוואה עם ריבוע שלמים: Для x: נחלק את -22 ב-2 = -11, ונריבוע: (-11)^2 = 121. לתוך המשוואה מוסיפים ומחסרים 121 Для y: נחלק את -14 ב-2 = -7, ונריבוע: (-7)^2 = 49. מוסיפים ומחסרים 49 המשוואה הופכת ל: (x - 11)^2 - 121 + (y - 7)^2 - 49 - 145 = 0 נחבר צדדים קבועים: -121 - 49 - 145 = -315 לכן: (x - 11)^2 + (y - 7)^2 = 315 רדיוס = שורש 315 = 5*sqrt(13), מרכז: (11,7)