שיעור בנושא פתרון בעיות מילוליות המתמקדות בשינויי מחירים באחוזים במכירה וקניה, באמצעות בניית משוואות ופישוטם.
להבין כיצד לחשב שינויי מחירים באחוזים ברצף של פעולות
לנסח ולהבין משוואות המשקפות תרחישי עליית מחירים
לפתח מיומנות בפישוט משוואות ופתרן בגישה אלגנטית
להבין ולבקר תוצאות באמצעות הצבת ערכים ובדיקות חישוב
הגדרת הבעיה: מחיר מוצר עובר שינויים בשני שלבים ברצף, כל שלב מעלה באחוז שונה את המחיר, ויש למצוא את אחוז העלייה המקורי.
בניית המשוואה והפתרון: יצירת משוואה המכילה את אחוזי העלייה ומכפלתם בשני שלבים, טיפול אלגנטי על ידי החלפת משתנה, ופישוט.

תרגול קצר

חישוב אחוז העלייה הראשוני

רמת קושי: קל

ממתין

מחיר מוצר עלה פעמיים ברצף: תחילה ב-P אחוז, ואז באחוז כפול שניים. בסך הכל המחיר עלה ב-32%. מצא את P.

אחוזיםמשוואות ריבועיותבעיות מילוליות

רמז: נסמן את P חלקי 100 ב-W ונבנה משוואה ריבועית בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: P = 10

נסמן W = P/100. המחיר לאחר העליות הוא (1+W)(1+2W). ידוע שזה שווה ל-1.32. נפתח סוגריים: 1 + 3W + 2W^2 = 1.32. נעביר אגפים: 2W^2 + 3W + 1 - 1.32 = 0 => 2W^2 + 3W - 0.32 = 0. נפתור משוואה ריבועית וניקח את הפתרון החיובי. נכפיל ב-100 לקבלת P.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית אחוזי עליית מחיר כפולה

חישוב אחוז העלייה הראשוני P

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מציאת ערך P, האחוז של העלייה הראשונה
נתון 1
המחיר המקורי X
נתון 2
העלייה הראשונה P אחוז (לא ידוע)
נתון 3
העלייה השנייה היא פי 2 מהעלייה הראשונה
רעיון
הרעיון המרכזי
לסמן את האחוז הראשון בעזרת משתנה עשרוני W, לבנות משוואה ריבועית ולפתור אותה.
נוסחה
המחיר לאחר העלייה הראשונה הוא (1+W)X, לאחר השנייה (1+2W)(1+W)X
1.32 = (1 + 2W) * (1 + W)1.32 = (1 + 2W)(1 + W)
משוואה
נפתח את המכפלה ונצמצם את ה-X
נפתח את המכפלה ונצמצם את ה-X
0 = 2W^2 + 3W - 0.320 = 2W^(2) + 3W - 0.32
פישוט
נמצא את השורשים ונבחר את הפתרון החיובי
נמצא את השורשים ונבחר את הפתרון החיובי

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המחיר עלה פעמיים

מה עושים

המחיר עלה ב-P אחוז ואז ב-2P אחוז

למה

שינוי המחיר מתרחש בשני שלבים עוקבים

בחירת שיטה

נסמן את P חלקי 100 ב-W

מה עושים

להפוך את האחוז למספר עשרוני נוח לחישוב

למה

נקל על הכללת האחוזים במשוואה

W = P / 100

נוסחה / הצבה

W = P / 100W = (P)/(100)

בניית משוואה

נבנה את המשוואה

מה עושים

המחיר לאחר העלייה הראשונה הוא (1+W)X, לאחר השנייה (1+2W)(1+W)X

למה

לייצג את השינוי ברצף עם ביטוי מתמטי

(1 + 2W)(1 + W)X = 1.32 X

נוסחה / הצבה

1.32 = (1 + 2W) * (1 + W)1.32 = (1 + 2W)(1 + W)

פתרון

נפתח ונפשט את המשוואה

מה עושים

נפתח את המכפלה ונצמצם את ה-X

למה

על מנת לקבל משוואה ריבועית פשוטה לפתרון

2W^2 + 3W - 0.32 = 0

נוסחה / הצבה

0 = 2W^2 + 3W - 0.320 = 2W^(2) + 3W - 0.32

פתרון

נפתור את המשוואה הריבועית

מה עושים

נמצא את השורשים ונבחר את הפתרון החיובי

למה

הפתרון מחושב עבור W חיובי בלבד

W = 0.1

תשובה

מחשבים את P ומבצעים בדיקה

מה עושים

P = 10 אחוז; הצבת ערך זה במשוואה מאשרת את התוצאה

למה

בדיקת נכונות הפתרון באמצעות הצבה

יש להכניס חזרה את הערך למשוואה כדי לוודא דיוק

פתרונות כלליים

חישוב אחוז העלייה הראשוני: נסמן W = P/100. המחיר לאחר העליות הוא (1+W)(1+2W). ידוע שזה שווה ל-1.32. נפתח סוגריים: 1 + 3W + 2W^2 = 1.32. נעביר אגפים: 2W^2 + 3W + 1 - 1.32 = 0 => 2W^2 + 3W - 0.32 = 0. נפתור משוואה ריבועית וניקח את הפתרון החיובי. נכפיל ב-100 לקבלת P.

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. בעיות מילוליות קניה ומכירה

ניווט לפי נושאים

בעיות מילוליות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מציאת ערך P, האחוז של העלייה הראשונה

המחיר המקורי X

העלייה הראשונה P אחוז (לא ידוע)

העלייה השנייה היא פי 2 מהעלייה הראשונה

הרעיון המרכזי

המחיר לאחר העלייה הראשונה הוא (1+W)X, לאחר השנייה (1+2W)(1+W)X

נפתח את המכפלה ונצמצם את ה-X

נמצא את השורשים ונבחר את הפתרון החיובי

פתרון מפורט

המחיר עלה פעמיים

נסמן את P חלקי 100 ב-W

נבנה את המשוואה

נפתח ונפשט את המשוואה

נפתור את המשוואה הריבועית

מחשבים את P ומבצעים בדיקה

פתרונות כלליים