שיעור זה עוסק בפתרון בעיות מילוליות המתמקדות בגיאומטריה של שטחים והיקפים, תוך בניית משוואות אלגבריות באמצעות הצבה ופתרון משוואות ממעלה שנייה.
להבין כיצד לייצג גיאומטרית אלמנטים בעיה עם משתנים
לכתוב משוואות מתוך נתונים מילוליים גיאומטריים
לפתור משוואות ממעלה שנייה המתקבלות מבעיות בגיאומטריה
לזהות את השטח וההיקף של צורות ולהשתמש בהם במשוואות משמעותיות
לזהות ולהימנע מטעויות נפוצות בחישובים אלגבריים
הגדרת משתנים והיקף: הגדרת המשתנים X ו-Y עבור אורכי צלעות וגזירת משוואת ההיקף בהתבסס על הנתון שהיקף הגינה הוא 140.
תנאי השטח והקשר בין האורכים: השוואת שטח הגינה לשטח השוליים ובניית משוואות דרך פתיחת סוגריים ופישוט אלגברי.
פתרון משוואות והכנסת ערכים: הצבה של X כ-70 פחות Y ופתרון המשוואה הריבועית שהתקבלה, עם וידוא תוצאה חוזרת והצגה של אפשרויות שונות לפתרון.

תרגול קצר

חישוב היקף מלבן

רמת קושי: קל

ממתין

גינה בצורת מלבן; אורכי הצלעות הן X ו-Y. אם ההיקף הוא 140, כתוב את נוסחת ההיקף.

היקףמשוואותמלבן

רמז: היקף מלבן הוא סכום שתי הפעמים של האורך והרוחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2X + 2Y = 140

היקף = 2X + 2Y ולכן 2X + 2Y = 140.

כתיבת משוואה מתוך תנאי שטחים

רמת קושי: בינוני

ממתין

שטח הגינה שווה לשטח השוליים והמידות משתנות: הגודל של כל צלע מצטמצם ב-10. כתוב משוואה מתמטית המייצגת את התנאי הזה בעזרת המשתנים X ו-Y.

שטחמשוואותהצבה

רמז: השטח החדש הוא (X-10)(Y-10), שטח השוליים = שטח הכולל פחות השטח הפנימי.

פתרון מלא

תשובה סופית: XY = XY - (X-10)(Y-10)

שטח הגינה XY = שטח השוליים שטח השוליים = XY - (X-10)(Y-10)

פתרון משוואה ריבועית לצמצום ממדים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה שהתקבלה לאחר הצבת X=70-Y במשוואה מהמקרה של שטח הגינה והשוליים.

משוואה ריבועיתפתרוןהצבה

רמז: החלף את X ב-70 פחות Y והרחב פשוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: -Y^2 + 70Y - 1600 = 0

Y*(70 - Y) - 20Y - 200 = 0 מתקבלת משוואה ריבועית ב-Y פשט והסר איברים דומים לפתרון.

חישוב שטח המלבן לאחר פתרון המשוואה

רמת קושי: בגרות

ממתין

אם מסתבר ש-X=30 ו-Y=40, חשבו את שטח הגינה.

שטחחישובמלבן

רמז: שטח = אורך כפול רוחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1200

שטח = 30 * 40 = 1200

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיה: שטח והיקף גינה מלבנית

כיצד להחליט על משתנים ולפתור משוואה ריבועית בקשר בין שטחים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורכי צלעות הגינה X ו-Y / הערכת שטח הגינה
נתון 1
היקף הגינה הוא 140
נתון 2
אורך וצד רוחב הגינה המסומנים X ו-Y
נתון 3
בחלק המשני, כל ממד מצטמצם ב-10
רעיון
הרעיון המרכזי
נגדיר משוואה עבור ההיקף והאיזון בשטח, נחליף X ונפתור משוואה ריבועית ב-Y.
נוסחה
הגדר את ההיקף כ-2X + 2Y = 140
2X + 2Y = 140
משוואה
פתח סוגריים ופשט את המשוואה המתקבלת
פתח סוגריים ופשט את המשוואה המתקבלת
XY - 10X - 10Y + 100
פישוט
הציב את X במשוואות ופשט למה שניתן לפתור ב-Y
הציב את X במשוואות ופשט למה שניתן לפתור ב-Y
-Y^2 + 70Y - 1600 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

היקף הגינה

מה עושים

הגדר את ההיקף כ-2X + 2Y = 140

למה

זו דרך לייצג את ההיקף עם משתנים ידועים

היקף מלבן כולל שתי פעמים האורך ועוד שתי פעמים הרוחב.

נוסחה / הצבה

2X + 2Y = 140

חשוב להבדיל בין סמן האורך X לרוחב Y

זיהוי נתונים

הגדרת השוליים

מה עושים

רשום שהצלעות הפנימיות הן X-10 ו-Y-10

למה

כדי לייצג את הפחתת הממדים באזור השוליים

השטח הפנימי מוקטן ב-10 מטר מכל צלע.

הפחתה של 10 מכל צד מתארת את השוליים

בחירת שיטה

הכנת משוואות שטח

מה עושים

כתוב שהשטח הכולל XY שווה לשטח השוליים (XY פחות השטח הפנימי)

למה

כדי לקבל משוואה המתארת את היחס הייחודי בין שני השטחים

נרשום: XY = XY - (X-10)(Y-10)

דגש על פתיחת סוגריים וסימון נכון

בניית משוואה

חיבור המשוואה

מה עושים

פתח סוגריים ופשט את המשוואה המתקבלת

למה

להביא את המשוואה למצב נתיח ב-Y בלבד

פתיחת הסוגריים נותנת XY מינוס 10X מינוס 10Y ועוד 100

נוסחה / הצבה

XY - 10X - 10Y + 100

ערוך סידור סימנים כדי למנוע טעויות

בניית משוואה

הצבת X כתלות ב-Y

מה עושים

החלף ב-X=70-Y מתוך משוואת ההיקף

למה

כדי להציב ביטוי אחד במשתנה יחיד ולהפוך למשוואה ריבועית

מכיוון 2X + 2Y = 140, X = 70 - Y

נוסחה / הצבה

X = 70 - Y

ניצול המשוואה הראשונה בהצבה

פתרון

פתרון המשוואה הריבועית

מה עושים

הציב את X במשוואות ופשט למה שניתן לפתור ב-Y

למה

כדי למצוא ערך של Y ואז למצוא X תוך הצבה חוזרת

פתרון המשוואה: -Y בריבוע + 70Y - 1600 = 0

נוסחה / הצבה

-Y^2 + 70Y - 1600 = 0

דגש על בדיקת סימנים נכונים במשוואה

פתרונות כלליים

חישוב היקף מלבן: היקף = 2X + 2Y ולכן 2X + 2Y = 140.
כתיבת משוואה מתוך תנאי שטחים: שטח הגינה XY = שטח השוליים שטח השוליים = XY - (X-10)(Y-10)
פתרון משוואה ריבועית לצמצום ממדים: Y*(70 - Y) - 20Y - 200 = 0 מתקבלת משוואה ריבועית ב-Y פשט והסר איברים דומים לפתרון.
חישוב שטח המלבן לאחר פתרון המשוואה: שטח = 30 * 40 = 1200

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. בעיות מילוליות עם צורה גיאומטרית

ניווט לפי נושאים

בעיות מילוליות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורכי צלעות הגינה X ו-Y / הערכת שטח הגינה

היקף הגינה הוא 140

אורך וצד רוחב הגינה המסומנים X ו-Y

בחלק המשני, כל ממד מצטמצם ב-10

הרעיון המרכזי

הגדר את ההיקף כ-2X + 2Y = 140

פתח סוגריים ופשט את המשוואה המתקבלת

הציב את X במשוואות ופשט למה שניתן לפתור ב-Y

פתרון מפורט

היקף הגינה

הגדרת השוליים

הכנת משוואות שטח

חיבור המשוואה

הצבת X כתלות ב-Y

פתרון המשוואה הריבועית

פתרונות כלליים