שיעור בנושא פתרון בעיות ערך קיצון במצב פרמטרי עם פונקציית מטרה הכוללת פרמטרים A ו-B. למידת שיטת העבודה בגזירת פונקציה פרמטרית, בניית משוואות וגזירת התוצאה למציאת נקודות קיצון, תוך שימוש בשיטת הצבה לוודא מינימום או מקסימום.
להבין מהי פונקציית מטרה עם פרמטרים
לחזות ולכתוב פונקציית מטרה עבור שטחים הכוללים פרמטרים
לבצע גזירה של פונקציה פרמטרית ולהשוות לאפס
להשתמש בהצבות בערך קצת יותר גדול וקטן לפונקציה עם פרמטרים כדי לקבוע סוג נקודת הקיצון
להכיר את שיטת השימור על שם המשפחה (שמירת הפרמטרים בצורה סמלית) בפיתרון בעיות קיצון פרמטריות
הגדרת הבעיה: הוגדרה פונקציית מטרה המכילה את סכום השטחים של ריבוע ומשושה, כאשר צלעות הריבוע והמשושה הן A ו-B המשתנים בפרמטרים.
גזירת פונקציה פרמטרית: בוצעה נגזרת של פונקציית המטרה הכוללת את הפרמטרים והתוצאה הובאה לצורת משוואה לפרמטר X ביחס ל-A ו-B.
בדיקת סוג נקודת הקיצון: ללא מספרים מדויקים, משתמשים בשיטת הצבה עם ערכים קצת יותר קטנים וגדולים להשוואה, כדי לקבוע האם הנקודה היא מינימום או מקסימום.

תרגול קצר

חישוב ערך X המקסימלי בפרמטרים נתונים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים פרמטרים A ו-B כאורכי צלעות של צורות. מצא את ערך X הממזער את סכום השטחים של הריבוע והמשושה.

פרמטריםערך קיצוןגזירה

רמז: גזור את פונקציית המטרה, הצב שווה לאפס ופשט לפתרון X בתלות ב-A ו-B.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = (A + B)/6

פונקציית המטרה היא S = 3X² - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B נגזור ביחס ל-X: S' = 6X - A - B נשווה לאפס: 6X - A - B = 0 נפתור ל-X: X = (A + B)/6

אימות מינימום פונקציה פרמטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

לאחר שמצאת את נקודת הקיצון X = (A + B)/6, האם מדובר במינימום? בדוק זאת ע"י הצבה של ערכים מעט קטנים וגדולים מ-X.

בדיקת מינימוםערך קיצוןפרמטרים

רמז: חשב את נגזרת הפונקציה בשני הערכים סביב הנקודה וראה אם הנגזרת נמצאת במגמה הנכונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: חלק שמאלי של הנקודה: נגזרת < 0, חלק ימני: נגזרת > 0 — נקודת מינימום

נבחר ערכים: X1 = 0.15 (A + B), X2 = 0.2 (A + B) נציב בנגזרת: ל-X1: 6 * 0.15 (A + B) - A - B = 0.9 A + 0.9 B - A - B = -0.1 A - 0.1 B (שלילי) ל-X2: 6 * 0.2 (A + B) - A - B = 1.2 A + 1.2 B - A - B = 0.2 A + 0.2 B (חיובי) מכיוון שהנגזרת משתנה מ-שלילי לחיובי בנקודה, מדובר במינימום

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיה קיצון עם פרמטרים A ו-B

כיצד למצוא את הערך המינימלי של סכום השטחים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך X הממזער את S(X)
נתון 1
פרמטרים A ו-B הם אורך צלעות חיוביים
נתון 2
נתון 2
פונקציית מטרה S(X) = 3X^2 - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B
רעיון
הרעיון המרכזי
גזור את פונקציית המטרה, מצא את X שמאפס את הנגזרת, ואמת שמדובר במינימום על ידי הצבה של ערכים
נוסחה
S(X) = 3X² - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B
S(X) = 3X^2 - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B
משוואה
S'(X) = 6X - A - B
S'(X) = 6X - A - B
S'(X) = 6X - A - B
פישוט
6X - A - B = 0 \rightarrow X = (A + B) / 6
6X - A - B = 0 \rightarrow X = (A + B) / 6
6X - A - B = 0X = (A + B) / 6
תוצאה
מסיימים בתשובה
הצבת ערכים מעט קטנים וגדולים מ-X וחישוב סימן הנגזרת
נציב לדוגמא:X1=0.15(A+B), נגזרת < 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת פרמטרים A ו-B

מה עושים

A ו-B מוגדרים כאורכי צלעות פרמטריים וצמודים לפונקציית המטרה

למה

כי האורך תלוי בערכים לא מספריים ספציפיים אלא בפרמטרים המדמים תנאים כלליים

זיהוי נתונים

פונקציית המטרה

מה עושים

S(X) = 3X² - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B

למה

הסכום של שטחי הריבוע והמשושה מתבטא כך ביחס ל-X ופרמטרים

נוסחה / הצבה

S(X) = 3X^2 - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B

בחירת שיטה

מציאת נקודות קיצון

מה עושים

נגזור את הפונקציה ביחס ל-X ונשווה לאפס

למה

הנגזרת שווה לאפס בנקודות המקסימום או המינימום

בניית משוואה

כתיבת נגזרת פונקציית המטרה

מה עושים

S'(X) = 6X - A - B

למה

נגזרת הפונקציה שומרת על פרמטרים כחלק מהמשוואה

נוסחה / הצבה

S'(X) = 6X - A - B

פתרון

שוויון לאפס ופתרון ל-X

מה עושים

6X - A - B = 0 \rightarrow X = (A + B) / 6

למה

מציאת הערך שבו הנגזרת מתאפסת

נוסחה / הצבה

6X - A - B = 0X = (A + B) / 6

השתמשו בחלוקה במקום הכפלה בשבר להקלה

פתרון

אימות סוג נקודת הקיצון

מה עושים

הצבת ערכים מעט קטנים וגדולים מ-X וחישוב סימן הנגזרת

למה

אם הנגזרת משתנה מ-שלילי לחיובי, זו נקודת מינימום

נוסחה / הצבה

נציב לדוגמא:X1=0.15(A+B), נגזרת < 0X2=0.2(A+B), נגזרת > 0לכן X הוא נקודת מינימום

השוו את הערכים סביב X לשמירת פרמטרים

פתרונות כלליים

חישוב ערך X המקסימלי בפרמטרים נתונים: פונקציית המטרה היא S = 3X² - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B נגזור ביחס ל-X: S' = 6X - A - B נשווה לאפס: 6X - A - B = 0 נפתור ל-X: X = (A + B)/6
אימות מינימום פונקציה פרמטרית: נבחר ערכים: X1 = 0.15 (A + B), X2 = 0.2 (A + B) נציב בנגזרת: ל-X1: 6 * 0.15 (A + B) - A - B = 0.9 A + 0.9 B - A - B = -0.1 A - 0.1 B (שלילי) ל-X2: 6 * 0.2 (A + B) - A - B = 1.2 A + 1.2 B - A - B = 0.2 A + 0.2 B (חיובי) מכיוון שהנגזרת משתנה מ-שלילי לחיובי בנקודה, מדובר במינימום

הפריט הקודם הפריט הבא

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

ניווט לפי נושאים

בעיות ערך קיצון

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך X הממזער את S(X)

פרמטרים A ו-B הם אורך צלעות חיוביים

נתון 2

הרעיון המרכזי

S(X) = 3X² - 0.5 A X - 0.5 B X + 0.5 A B

S'(X) = 6X - A - B

6X - A - B = 0 \rightarrow X = (A + B) / 6

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת פרמטרים A ו-B

פונקציית המטרה

מציאת נקודות קיצון

כתיבת נגזרת פונקציית המטרה

שוויון לאפס ופתרון ל-X

אימות סוג נקודת הקיצון

פתרונות כלליים