MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בבעיות ערך קיצון בהקשר של ריצוף שטח גיאומטרי מורכב. נלמד כיצד להגדיר ולרשום פונקציית מטרה של עלות הריצוף, כיצד לארגן את הפונקציה ולחשב את הערך המינימלי שלה בהתאם למגבלות הגיאומטריות.
  • להבין כיצד להגדיר משתנים מתאימים בבעיות ערך קיצון גיאומטריות
  • לרשום ולהרכיב פונקציית מטרה כולל עלויות ואילוצים
  • לעשות פישוט אלגברי של פונקציית המטרה
  • לחשב את הנקודות הקריטיות באמצעות גזירה והסקת מסקנות לגבי מינימום העלות
  • להעריך את הפתרונות באמצעות בדיקות ערך בנקודות קריטיות
  • הגדרת הבעיה: הצגת פרויקט ריצוף לשטח בגודל 18 על 10 מטר הכולל דקורציה בשני סוגי ריצוף בעלות שונה.
  • רכיב פונקציית המטרה: הרכבת פונקציית המטרה המייצגת את עלות הריצוף הכוללת בהתאם לשטח הכלול בכל סוג ריצוף ומחירו למטר רבוע.
  • פישוט וניתוח פונקציית המטרה: פתיחת סוגריים, איחוד ואפיון הפונקציה לצורך מציאת הערך המינימלי באמצעות גזירה.
  • מציאת נקודת המינימום: גזירת פונקציית המטרה, מציאת נקודת המקומית, ופרשנות תוצאה בהקשר העלות והמגבלות הגיאומטריות.

תרגול קצר

חישוב פונקציית עלות ריצוף פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

יש שטח ריצוף הכולל ריבוע של צלע X ומלבן משלים. ריצוף הריבוע יקר ב-200 ש"ח למטר רבוע, וריצוף המלבן בזול ב-100 ש"ח למטר רבוע. חשב את פונקציית העלות הכוללת כפונקציה של X.

פונקציית מטרהשטחיםריצוף

רמז: חשבו תחילה את השטח של הריבוע ושל המלבן, ואז הכפילו במחיר המתאים לכל שטח.

פתרון מלא

תשובה סופית: פונקציית עלות: 200*X^2 + 100*(18 - X)*(10 - X)

שטח הריבוע הוא X בריבוע. השטח המשלים הוא (18 - X)*(10 - X). העלות הכוללת היא 200 כפול X בריבוע ועוד 100 כפול (18 - X)*(10 - X).

מציאת נקודת העלות המינימלית

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן פונקציית העלות 200*X^2 + 100*(18 - X)*(10 - X), מצא את ערך X שממזער את העלות.

גזירהמינימוםפונקציית מטרה

רמז: פתח סוגריים, פשט את הפונקציה, גזור את הפונקציה והציב את הנגזרת שווה לאפס כדי למצוא נקודות קריטיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: X=7 מטר

פתח את הסוגריים וקבל פונקציה ריבועית משוכללת. נגזר את הפונקציה, נצא באקסי ופתור את המשוואה הדיפרנציאלית d(עלות)/dX=0. קבל X=7.

בדיקת תחום ופונקציית עלות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדוק את ערך פונקציית העלות כאשר X=6.9 ו-X=7.1 והסק מסקנה על סוג נקודת הקיצון.

תחוםבדיקת מינימוםערכי פונקציה

רמז: הציב ערכים בסביבה של 7 בפונקציית העלות וחפש איזה ערך יוצר עלות נמוכה יותר.

פתרון מלא

תשובה סופית: ב-X=7 העלות מינימלית, סביב לנקודה העלות גבוהה יותר

הצבת X=6.9 ו-X=7.1 מראה עלות גבוהה יותר לעומת X=7, ולכן X=7 היא נקודת מינימום אמיתית.

בעיה של ריצוף עם פונקציית עלות

רמת קושי: בגרות

ממתין

פרויקט ריצוף כולל שטח בגודל 18 על 10 מטר, כאשר ישנה חלוקה בין ריצוף יקר (200 ש"ח למ"ר) וחלק זול (100 ש"ח למ"ר). אם X הוא הצד של הריבוע היקר, כתוב ובדוק את פונקציית העלות ומצא את X שגורם לעלות המינימלית.

בגרותערך קיצוןפונקציית מטרה

רמז: הרכב את שני השטחים לפי X, כתוב ביטוי עלות כולל, פשט, גזור ומצא נקודות קיצון. בדוק תחום והצג תשובה סופית.

פתרון מלא

תשובה סופית: X=7 מטר; העלות המינימלית חישובית בערך 26,200 ש"ח

חשבו שטח ריצוף יקר: X^2 + (18 - X)(10 - X) ושטח ריצוף זול: X(10 - X) + (18 - X)X. פונקציית העלות S=200*שטח יקר + 100*שטח זול. פשטו ונגזרו את S לגבי X, פתרו נגזרת=0 וקבלו X=7. בדקו את תחום הבעיה, הציבו X=7 ומצאו את מינימום העלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית ריצוף – מציאת עלות מינימלית

איך למצוא את הצד X של הריבוע בריצוף המינימלי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך X שגורם להוצאה המינימלית על הריצוף / העלות המינימלית עצמה

  2. נתון 1

    שטח כולל 18 מטר על 10 מטר

  3. נתון 2

    ריצוף במחיר 200 ש"ח למ"ר באזור הריבוע ו-100 ש"ח למ"ר באזור הנותר

  4. נתון 3

    משתנה X – צד הריבוע בעל הריצוף היקר

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הרכבת פונקציית עלות בהתאם למשתנה X, פישוטה על ידי פתיחת סוגריים, גזירתה, ומציאת נקודת הקיצון לשם

  6. נוסחה

    פתח סוגריים ואחד איברים דומים כדי לקבל ביטוי ריבועי פשוט של X

    עלות = 100 X^2 - 1400 X + 36000
  7. משוואה

    נכפיל את השטחים במחירי הריצוף ונחבר יחד

    נכפיל את השטחים במחירי הריצוף ונחבר יחד

    עלות= 200 * (X^2+ (18- X)(10- X))
  8. פישוט

    נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא X קריטי

    נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא X קריטי

    dעלות/dX = 200X - 1400(dS)/(dX) = 200X - 1400

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זיהוי נתונים ופרמטרים

מה עושים

נגדיר את המשתנה X ונציין את מחירי הריצוף

למה

הבנת הנתונים חיונית להרכבת פונקציית המטרה

X הוא צד הריבוע היקר במחיר 200 ש"ח למ"ר, שאר השטח בריצוף זול במחיר 100 ש"ח למ"ר

2

בחירת שיטה

כתיבת פונקציית העלות הכוללת

מה עושים

נחשב את השטח של הריצוף היקר והזול ונכפיל במחיר

למה

פונקציית המטרה מייצגת את עלות הריצוף הכוללת כתלות ב-X

שטח יקר = X*X + (18 - X)*(10 - X), שטח זול = X*(10 - X) + (18 - X)*X

3

בניית משוואה

הרכבת ביטוי פונקציית העלות

מה עושים

נכפיל את השטחים במחירי הריצוף ונחבר יחד

למה

כך נקבל מנגנון מדויק לחישוב עלות כולל

פונקציית העלות = 200 * שטח יקר + 100 * שטח זול

נוסחה / הצבה

עלות= 200 * (X^2+ (18- X)(10- X))
4

פתרון

פישוט ופיתוח הפונקציה

מה עושים

פתח סוגריים ואחד איברים דומים כדי לקבל ביטוי ריבועי פשוט של X

למה

פישוט מאפשר לבצע גזירה בקלות ולקבל נקודות קיצון

הפונקציה מתקבלת כסכום של איברים עם X בריבוע ועם X בלבד, ועוד קבוע

נוסחה / הצבה

עלות = 100 X^2 - 1400 X + 36000

יש לוודא שהפישוט מדויק

5

פתרון

גזירה ומציאת נקודת קיצון

מה עושים

נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא X קריטי

למה

נקודה שבה הנגזרת מתאפסת יכולה להיות מינימום או מקסימום

dעלות/dX = 200 X - 1400; הצבה ל-0: 200 X - 1400 = 0

נוסחה / הצבה

dעלות/dX = 200X - 1400(dS)/(dX) = 200X - 1400
6

פתרון

פתרון והערכת התוצאה

מה עושים

פתור עבור X והערך את העלות

למה

אחרי שמצאנו X, מחשבים את עלות הריצוף בשביל לדעת הערך המינימלי

X = 7; הצבת X בפונקציה המקורית נותנת עלות מינימלית

נוסחה / הצבה

X = 7

פתרונות כלליים

  • חישוב פונקציית עלות ריצוף פשוטה: שטח הריבוע הוא X בריבוע. השטח המשלים הוא (18 - X)*(10 - X). העלות הכוללת היא 200 כפול X בריבוע ועוד 100 כפול (18 - X)*(10 - X).
  • מציאת נקודת העלות המינימלית: פתח את הסוגריים וקבל פונקציה ריבועית משוכללת. נגזר את הפונקציה, נצא באקסי ופתור את המשוואה הדיפרנציאלית d(עלות)/dX=0. קבל X=7.
  • בדיקת תחום ופונקציית עלות: הצבת X=6.9 ו-X=7.1 מראה עלות גבוהה יותר לעומת X=7, ולכן X=7 היא נקודת מינימום אמיתית.
  • בעיה של ריצוף עם פונקציית עלות: חשבו שטח ריצוף יקר: X^2 + (18 - X)(10 - X) ושטח ריצוף זול: X(10 - X) + (18 - X)X. פונקציית העלות S=200*שטח יקר + 100*שטח זול. פשטו ונגזרו את S לגבי X, פתרו נגזרת=0 וקבלו X=7. בדקו את תחום הבעיה, הציבו X=7 ומצאו את מינימום העלות.
הפריט הקודםהפריט הבא