וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.7 בעיות קיצון גרפים
א.7 בעיות קיצון עם פרמטר
א.8 בעיות קיצון גרפים
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
מצא את שני המספרים שמקסמים את המכפלה
רמת קושי: קל
נתונים שני מספרים חיוביים שסכומם 10. מצא מהם שני המספרים כך שמכפלת החזקה השלישית של הראשון בריבוע של השני תהיה מקסימלית.
רמז: הצהר נעלמים, הבדיל בעזרת סכום המספרים, הצב פונקציה אחת בלבד. גזור ומצא נקודות קיצון חיוביות.
תשובה סופית: המספרים הם 6 ו-4 והמקסימום הוא 1296.
נסמן x את המספר הראשון ו-y את המספר השני. y = 10 - x. פונקציית המטרה: f(x) = x^3 * y^2 = x^3 * (10 - x)^2. נגזור: f'(x) = 3x^2(10-x)^2 - 2x^3(10-x). יוציאו גורם משותף: x^2(10-x)(30 - 5x) = 0. הפתרונות הם x=0, x=10, x=6. רק x=6 מתאים לפי תנאי חיוביות. אז y=4. המכפלה = 6^3 * 4^2 = 1296.
מקסום מכפלת חזקה של מספרים עם סכום ידוע
x > 0y > 0x + y = 10נבודד את y לפי הסכום, נציב בפונקציית המטרה, נגזור ונמצא נקודת מקסימום חיובית.
f(x) = x^3 * (10 - x)^2f(x) = x^(3) x (10 - x)^(2)נוציא גורמים משותפים ונמצא פתרונות f'(x) = 0
x^2 * (10 - x) * (30 - 5x) = 0נחשב f'(x) לעזרת נגזרת מכפלה
f'(x) = 3x^2 * (10 - x)^2 - 2x^3 * (10 - x)f'(x) = 3x^(2) (10 - x)^(2) - 2x^(3) (10 - x)השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נגדיר x ו-y כמספרים חיוביים שסכומם 10
למה
כדי לכתוב את פונקציית המטרה ונבצע חישובים
נסמן מספר ראשון x, מספר שני y, כך ש-x + y = 10
חשוב לזכור ששני המספרים חיוביים
בחירת שיטה
מה עושים
נבודד את y ונכתוב y = 10 - x
למה
לצמצם פונקציית מטרה למשתנה יחיד
y = 10 - x
נוסחה / הצבה
y = 10 - xבחרו משתנה שקל לגזור אחריו
בניית משוואה
מה עושים
נגדיר f(x) = x^3 * (10 - x)^2
למה
כדי לבחון ולמצוא את נקודת הקיצון של f
f(x) = x^3 * (10 - x)^2
נוסחה / הצבה
f(x) = x^3 * (10 - x)^2f(x) = x^(3) x (10 - x)^(2)זו הפונקציה עליה נעבוד בהמשך
פתרון
מה עושים
נחשב f'(x) לעזרת נגזרת מכפלה
למה
כדי למצוא נקודות קיצון, צריך לפתור f'(x) = 0
f'(x) = 3x^2*(10 - x)^2 - 2x^3*(10 - x)
נוסחה / הצבה
f'(x) = 3x^2 * (10 - x)^2 - 2x^3 * (10 - x)f'(x) = 3x^(2) (10 - x)^(2) - 2x^(3) (10 - x)יש להיזהר מנגזרת פונקציית חזקות ומכפלה
פתרון
מה עושים
נוציא גורמים משותפים ונמצא פתרונות f'(x) = 0
למה
זיהוי נקודות בהן הנגזרת מתאפסת עשויה להיות נקודת מקסימום או מינימום
x^2 (10 - x) (30 - 5x) = 0, הפתרונות x=0,x=10,x=6
נוסחה / הצבה
x^2 * (10 - x) * (30 - 5x) = 0בבדיקה יש להוציא גורמים משותפים, לא לצמצם
בדיקה
מה עושים
נפנה רק ל-x=6 כיוון ש-x=0 ו-x=10 לא חיוביים
למה
המספרים חייבים להיות חיוביים על מנת לעמוד בתנאי השאלה
x=6, y=4, המקסימום הוא f(6)=1296
יש לפסול פתרונות אשר מחזירים אפס או שליליים