וידאו · בעיות ערך קיצון
א.16 בעיות קיצון גרפים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מציג פתרון בעיות ערך קיצון בגרף פונקציה ריבועית, עם דגש על מציאת שטח מקסימלי של טרפז המתואר בתוך הגרף y=9−x², תוך ניצול סימטריה.
- להבין התגבשות גאומטרית של בעיית קיצון
- לזהות סימטריה של פונקציה ולהשתמש בה לפישוט
- לנסח את השטח כפונקציה של משתנה אחד
- לחשב נגזרת ופיתרון של משוואת קיצון
- לנתח תוצאות לפי תחום הגדרת הבעיה
- הצגת הבעיה והגרף: נתונה פונקציה ריבועית y=9−x² וטרפז בתוך הגרף השואלים מה גודל הטרפז עם השטח המקסימלי.
- ניצול סימטריה: מבחינים שהצורה טרפז סימטרית, לכן משתנה התכנון הוא הפרמטר T המייצג חצי מבסיס הטרפז.
- גזירת פונקציית השטח וקביעת הקיצון: מנסחים את השטח כפונקציה של T, מחשבים נגזרת ומאתרים מקסימום על פי הטווח המתאים.
תרגול קצר
חישוב שטח הטרפז לפי T
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = 9 - x² והטרפז הסימטרי בתוך הגרף, כאשר בסיס תחתון הוא 6, ובסיס עליון באורך 2T עם T בין 0 ל-3. כתבו נוסחה של שטח הטרפז כפונקציה של T.
רמז: שטח טרפז הוא חצי סכום הבסיסים כפול הגובה, גובה לפי הערך בגרף ב-T.
פתרון מלא
תשובה סופית: S(T) = (6 + 2T)/2 * (9 - T²)
שטח S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T²)
מציאת ערך T לקבלת שטח מקסימלי
רמת קושי: בינוני
לפי הפונקציה של שטח הטרפז S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T²), חשבו את הנגזרת S'(T), מצאו את נקודות הקיצון בתחום T ∈ [0,3], וחשב את ערך ה-T שמביא לשטח מקסימלי.
רמז: פתח סוגריים לפונקציה לפני חישוב נגזרת, גזור, פתר משוואה בנגזרת אפס, וודא ש-T בתחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: הערך T=1 מביא לשטח מקסימלי בתחום הנתון.
פיתחו: S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T²) = 1/2 × (54 + 18T - 6T² - 2T³) = 27 + 9T - 3T² - T³ נגזרת: S'(T) = 9 - 6T - 3T² פתור 0 = 9 - 6T - 3T² חלק ב-3: 0 = 3 - 2T - T² סדר: T² + 2T - 3 = 0 פתרונות: T=1 או T= -3 (תוך התחשבות בטווח T≥0 אז T=1) בדיקת מקסימום ע"י נגזרת שניה או מהערך הגאומטרי.
דרך הפתרון
חישוב השטח המקסימלי של טרפז בתוך גרף פרבולה
דוגמה מייצגת לבעיה מסוג בעיות ערך קיצון בגרפים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך ה-T שבונה טרפז בעל שטח מקסימלי
- נתון 1
נתון 1
y = 9 - x² - נתון 2
בסיס תחתון של הטרפז: 6
- נתון 3
בסיס עליון של הטרפז: 2T
- רעיון
הרעיון המרכזי
נסמן את שטח הטרפז כפונקציה של T, נגזור ונמצא את נקודת הקיצון בטווח החוקי לתוצאה של השטח
- נוסחה
שטח S = חצי × (בסיס תחתון + בסיס עליון) × גובה
S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T^2)S(T) = 1/2 * (6 + 2T) * (9 - T²)S(T) = (1)/(2) (6 + 2T)(9 - T^2) - משוואה
פתור את המשוואה S'(T)=0: 9 - 6T - 3T² = 0 לחלק ב-3: 3 - 2T - T² = 0 הסדר
פתור את המשוואה S'(T)=0: 9 - 6T - 3T² = 0 לחלק ב-3: 3 - 2T - T² = 0 הסדר מחדש: T² + 2T
- פישוט
פתח סוגריים ופשט: S(T) = 1/2 × (54 + 18T - 6T² - 2T³) = 27 + 9T - 3T² -
פתח סוגריים ופשט: S(T) = 1/2 × (54 + 18T - 6T² - 2T³) = 27 + 9T - 3T² - T³ חישוב
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הגרף והטרפז
זיהוי נתונים
הגדרת הגרף והטרפז
מה עושים
יש את הפונקציה y=9−x², הטרפז סימטרי עם בסיס תחתון 6 ובסיס עליון 2T.
למה
המטרה היא לנסח את השטח כפונקציה של המשתנה T.
2בחירת שיטה
ניצול סימטריה
בחירת שיטה
ניצול סימטריה
מה עושים
נבחר T מ-0 עד 3 ונגדיר נקודות הקצה של הבסיס העליון כ-+T ו-−T.
למה
התוצאה תהיה פונקציה אחת של משתנה אחד לפשט את הבעיה.
הסימטריה מקלה על הניסוח.
3בניית משוואה
כתיבת נוסחת שטח הטרפז
בניית משוואה
כתיבת נוסחת שטח הטרפז
מה עושים
שטח S = חצי × (בסיס תחתון + בסיס עליון) × גובה
למה
נוסחה סטנדרטית לחישוב שטח טרפז.
גובה הטרפז הוא הערך בגרף y ב-x=T, כלומר 9−T².
נוסחה / הצבה
S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T^2)S(T) = 1/2 * (6 + 2T) * (9 - T²)S(T) = (1)/(2) (6 + 2T)(9 - T^2)4פתרון
פישוט וגזירה של פונקציית השטח
פתרון
פישוט וגזירה של פונקציית השטח
מה עושים
פתח סוגריים ופשט: S(T) = 1/2 × (54 + 18T - 6T² - 2T³) = 27 + 9T - 3T² - T³ חישוב נגזרת: S'(T) = 9 - 6T - 3T²
למה
כדי למצוא נקודות קיצון מחושבת הנגזרת ומוצאים אפס.
יש לבדוק את תחום ההגדרה.
5פתרון
קביעת נקודות קיצון
פתרון
קביעת נקודות קיצון
מה עושים
פתור את המשוואה S'(T)=0: 9 - 6T - 3T² = 0 לחלק ב-3: 3 - 2T - T² = 0 הסדר מחדש: T² + 2T - 3 = 0 פתרונות: T=1 או T=−3 (בטווח T≥0 נבחר T=1)
למה
נקודת הקיצון בטווח החוקי נותנת את פתרון המקסימום.
וודא תחום חוקי של פתרון.
6תשובה
קבלת ערך T המקסימלי
תשובה
קבלת ערך T המקסימלי
מה עושים
ועל פי החישוב, הערך T=1 מביא לשטח הטרפז המקסימלי בתחום הנתון.
למה
זו נקודת הקיצון המתאימה ואינה חורגת מתחום ההגדרה.
פתרונות כלליים
- חישוב שטח הטרפז לפי T: שטח S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T²)
- מציאת ערך T לקבלת שטח מקסימלי: פיתחו: S(T) = 1/2 × (6 + 2T) × (9 - T²) = 1/2 × (54 + 18T - 6T² - 2T³) = 27 + 9T - 3T² - T³ נגזרת: S'(T) = 9 - 6T - 3T² פתור 0 = 9 - 6T - 3T² חלק ב-3: 0 = 3 - 2T - T² סדר: T² + 2T - 3 = 0 פתרונות: T=1 או T= -3 (תוך התחשבות בטווח T≥0 אז T=1) בדיקת מקסימום ע"י נגזרת שניה או מהערך הגאומטרי.