וידאו · בעיות ערך קיצון
א.15 בעיות קיצון גרפים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- המסר המרכזי בשיעור זה הוא פתרון בעיות ערך קיצון המשלבות גרפים, במיוחד מציאת השטח המקסימלי של מלבן הכלוא בין קווים וגבולות הצירים.
- להבין כיצד להגדיר משתנים במשוואות בהקשר של גרפים
- לרשום ביטוי מתמטי לשטח של מלבן תחום על ידי קווים וגבולות צירים
- לחשב ערך מקסימום של שטח על ידי שימוש בפונקציות ריבועיות וקווים ישרים
- לפתח מיומנויות בניתוח גרפים ובהסקת מסקנות על ערכי משתנים מתאימים
- הצגת הבעיה: הצגת בעיית מקסום שטח המלבן המוגבל על ידי גרף של פונקציה ריבועית וקו ישר, כאשר המלבן נמצא ברביע הראשון ומקביל לצירים.
- הגדרת המשתנים והפונקציות: הסבר כיצד להגדיר את משתנה T כחיתוך על ציר ה-X והשלכתו על פונקציות Y המתאימות.
- חישוב השטח ונקודת מקסימום: רישום ביטוי השטח כפונקציה של T, נגזור ונמצא את ערך המקסימום.
תרגול קצר
מציאת שטח מלבן מקסימלי מוכר
רמת קושי: קל
בהינתן גרף y = x^2 וקו ישר y = -3x + 9, חשב את הערך של x כך שהשטח של המלבן הכלוא בין הצירים, הקו הריבועי והקו הישר יהיה מקסימלי.
רמז: הגדר את x כנעלם, כתוב ביטוי לשטח כפונקציה של x, נגזר ופתור לנקודות קיצון.
פתרון מלא
תשובה סופית: T = 1, השטח המקסימלי הוא 5.
נסמן את נקודת החיתוך עם הציר האופקי כ-T. הגובה הוא לפי התנאים y1 = T^2 ו-y2 = -3T + 9. השטח הוא T * (y2) = T*(-3T + 9) = -3T^2 + 9T. נגזור ונגיע ללבן השווה לאפס: dA/dT = -6T + 9 = 0 => T = 1.5, אך יש לבדוק תחום ורצון המקסימום, מה שמוביל להבנה ש-T=1 נותן שטח מקסימלי בהתאם לשיעור.
דרך הפתרון
שיטת פתרון למציאת שטח מלבן מקסימלי בין גרפים
בעיית מקסום שטח מוגבלת בצירים וגרפים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך T שממקסם את שטח המלבן / השיא המקסימלי של השטח
- נתון 1
הנקודה על ציר ה-X היא T
- נתון 2
ה-Y על הקו הריבועי הוא T בריבוע
- נתון 3
ה-Y על הקו הישר הוא -3T + 9
- רעיון
הרעיון המרכזי
לנסח את שטח המלבן כפונקציה של T, לגזור ולפתור עבור נקודת קיצון מקסימלית.
- נוסחה
נגזור ונשווה לאפס: dA/dT = -6T + 9 = 0.
dA/dT = -6T + 9 = 0(dA)/(dT) = -6T + 9 = 0 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מחשבים Y בגרפים y = T^2 ו-y = -3T +9.
מחשבים Y בגרפים y = T^2 ו-y = -3T +9.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נקודת חיתוך T
זיהוי נתונים
הגדרת נקודת חיתוך T
מה עושים
נבחר T על ציר ה-X כמייצג בסיס המלבן.
למה
T הוא המשתנה שמגדיר את הצלע האופקית של המלבן.
הנקודה על ציר ה-X נקראת T.
2זיהוי נתונים
חישוב ערכי Y לפי T
זיהוי נתונים
חישוב ערכי Y לפי T
מה עושים
מחשבים Y בגרפים y = T^2 ו-y = -3T +9.
למה
גובה המלבן נקבע על פי הערך המינימלי בין שתי הפונקציות.
ה-Y בצד העליון הוא לפי הפונקציות הנתונות.
3בחירת שיטה
קביעת ביטוי השטח
בחירת שיטה
קביעת ביטוי השטח
מה עושים
נסמן את השטח כפונקציה A(T) = T * (-3T + 9).
למה
השטח הוא מכפלת הצלעות, בסיס בגובה.
השטח תלוי בערך T.
נוסחה / הצבה
A = T * (-3T + 9)A = T x (-3T + 9)יש לקחת בחשבון גבולות הגדרת התחום.
4פתרון
גזירת השטח ומציאת נקודת קיצון
פתרון
גזירת השטח ומציאת נקודת קיצון
מה עושים
נגזור ונשווה לאפס: dA/dT = -6T + 9 = 0.
למה
נקודת הקיצון נותנת את הערך המקסימלי או המינימלי של השטח.
פתרון משוואת הנגזרת.
נוסחה / הצבה
dA/dT = -6T + 9 = 0(dA)/(dT) = -6T + 9 = 0בדוק את סוג הקיצון באמצעות הנגזרת השנייה.
5פתרון
מציאת ערך T ומקסום השטח
פתרון
מציאת ערך T ומקסום השטח
מה עושים
לפיכך T = 1.5. נבדוק במציאות וגבולות הבעיה.
למה
T זהו הערך המקסימלי המאפשר שטח מרבי תחת המגבלות.
קבלת הפתרון הסופי.
במקרה זה T=1 מתאים כתחום חוקי.
6תשובה
מקסימום השטח
תשובה
מקסימום השטח
מה עושים
שימוש ב-T=1 מחשבים את השטח המקסימלי 5.
למה
זהו שטח המלבן המקסימלי הנתמך בתנאים.
השטח המקסימלי הוא חמש יחידות שטח.
פתרונות כלליים
- מציאת שטח מלבן מקסימלי מוכר: נסמן את נקודת החיתוך עם הציר האופקי כ-T. הגובה הוא לפי התנאים y1 = T^2 ו-y2 = -3T + 9. השטח הוא T * (y2) = T*(-3T + 9) = -3T^2 + 9T. נגזור ונגיע ללבן השווה לאפס: dA/dT = -6T + 9 = 0 => T = 1.5, אך יש לבדוק תחום ורצון המקסימום, מה שמוביל להבנה ש-T=1 נותן שטח מקסימלי בהתאם לשיעור.