וידאו · בעיות ערך קיצון
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר ומימוש של בעיית קיצון במשולש שווה צלעות שבה יש למצוא את האורך CQ כדי למקסם את שטח המשולש הנוצר.
- הבנת מבנה הבעיה הקיצונית במשולש שווה צלעות
- בניית פונקציית מטרה המשקפת את השטח של המשולש הקטן
- שימוש בגזירה למציאת נקודת מקסימום
- הבנת הצבת ערכים פרמטריים לאימות הקיצון
- הצגת הבעיה: המשולש שווה צלעות A,A,A עם זוויות 60 מעלות ומתחייבת נקודה P שיש להוריד מקביל מהנקודה PQ ליצירת משולש BPQ.
- גזירת פונקציית שטח המשולש הקטן: התמקדות בבניית פונקציית השטח, יצירת הביטוי בנגזרת לפי X, פישוט וגזירה למציאת נקודת הקיצון.
- אימות נקודת הקיצון: בדיקת הערך של X שמצאנו באמצעות הצבות פרמטריות ליד הערך הנגזר כדי לוודא שזה אכן מקסימום ולא מינימום או נקודת אכזב.
תרגול קצר
מקסום שטח המשולש BPQ במשולש שווה צלעות
רמת קושי: קל
במשולש שווה צלעות באורך A, נקודה P נעה על הצלע. על הצלע הנגדית בנקודה Q מציירים מקביל ל-P ליצירת משולש BPQ. מצא את אורך CQ כך שהשטח של המשולש BPQ מקסימלי.
רמז: הגדר את X כאורך CQ, הבן את הגובה, ובנה פונקציית שטח בתלות ב-X. לאחר מכן גזור ומצא נקודת קיצון.
פתרון מלא
תשובה סופית: אורך CQ המקסימלי הוא חצי מאורך הצלע, כלומר X = A/2.
1. נגדיר X = CQ 2. בסיס המשולש BPQ = X 3. הגובה = (שורש 3)/2 * X 4. פונקציית השטח S = 1/2 * בסיס * גובה = 1/2 * X * (שורש 3)/2 * X = (שורש 3 / 4) * X^2 5. נבדוק הגבולות: X נע מ-0 עד A 6. על פי ההקשר בפיתרון, פונקציית השטח מבוטאת ως שורש 3 על 4 כפול (A X - X בריבוע) 7. נגזור ונמצא את נקודת הקיצון: סיום בגזירה מחלקת ל-0 את הנגזרת ונקבל את X = A/2 8. עלינו לאשר שמדובר במקסימום על ידי בדיקת ערכים סביב X = A/2
דרך הפתרון
פתרון בעיית חיפוש אורך CQ מקסימלי
באמצעות בניית פונקציית שטח וגזירתה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערך של CQ (X) שמביא למקסימום שטח המשולש BPQ
- נתון 1
משולש שווה צלעות עם צלע באורך A
- נתון 2
זוויות שוות ל-60 מעלות
- נתון 3
נקודה P נעה על צלע המשולש
- רעיון
הרעיון המרכזי
להגדיר את פונקציית השטח כתלות ב-X, לגזור, ולקבוע את נקודת הקיצון המקסימלית.
- נוסחה
שטח = 1/2 * בסיס * גובה
S = (√3 / 4) * (A * X - X^2)S = (שורש 3 / 4) * (A * X - X^2)S = (3)/(4) (A X - X^2) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נגזור את S לפי X ונשווה לאפס למציאת נקודת קיצון.
נגזור את S לפי X ונשווה לאפס למציאת נקודת קיצון.
dS/dX = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הנתונים
זיהוי נתונים
הגדרת הנתונים
מה עושים
המשולש שווה צלעות אורך A, זוויות 60 מעלות, נקודה P עם CQ = X.
למה
הגדרת המשתנים והפרמטרים הפותחת את הפתרון.
ישמשנו ערכים אלו בפיתוח המשוואות.
2בחירת שיטה
פונקציית שטח המשולש BPQ
בחירת שיטה
פונקציית שטח המשולש BPQ
מה עושים
למצוא את פונקציית השטח לפי X באמצעות בסיס וגובה.
למה
השטח תלוי באורך CQ (X) ולכן פונקציה זו מייצגת את פונקציית המטרה.
3בניית משוואה
פונקציית השטח
בניית משוואה
פונקציית השטח
מה עושים
שטח = 1/2 * בסיס * גובה
למה
גודל השטח הוא פונקציה של אורך CQ והגובה המשויך.
נוסחה / הצבה
S = (√3 / 4) * (A * X - X^2)S = (שורש 3 / 4) * (A * X - X^2)S = (3)/(4) (A X - X^2)4פתרון
גזירת פונקציית השטח
פתרון
גזירת פונקציית השטח
מה עושים
נגזור את S לפי X ונשווה לאפס למציאת נקודת קיצון.
למה
נקודת האפס בנגזרת מצביעה על קיצון אפשרי של פונקציית השטח.
נוסחה / הצבה
dS/dX = 0לא לשכוח לשמור על הפרמטר A כחזקת 1.
5פתרון
חישוב ערך X
פתרון
חישוב ערך X
מה עושים
נפתור עבור X ומקבלים X = A / 2.
למה
זהו אורך CQ שממקסם את השטח.
6בדיקה
אימות נקודת הקיצון
בדיקה
אימות נקודת הקיצון
מה עושים
נבצע הצבות פרמטריות סביב X = A/2 כדי לוודא שמדובר במקסימום.
למה
כדי לוודא שהפיתרון אכן מקסימום ולא מינימום או נקודת אמצע.
הצבות לערכים קצת קטנים וגדולים מרבע ו3/4 של A.
פתרונות כלליים
- מקסום שטח המשולש BPQ במשולש שווה צלעות: 1. נגדיר X = CQ 2. בסיס המשולש BPQ = X 3. הגובה = (שורש 3)/2 * X 4. פונקציית השטח S = 1/2 * בסיס * גובה = 1/2 * X * (שורש 3)/2 * X = (שורש 3 / 4) * X^2 5. נבדוק הגבולות: X נע מ-0 עד A 6. על פי ההקשר בפיתרון, פונקציית השטח מבוטאת ως שורש 3 על 4 כפול (A X - X בריבוע) 7. נגזור ונמצא את נקודת הקיצון: סיום בגזירה מחלקת ל-0 את הנגזרת ונקבל את X = A/2 8. עלינו לאשר שמדובר במקסימום על ידי בדיקת ערכים סביב X = A/2