MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
9 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.14 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.15 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.16 בעיות קיצון גרפים

סיכום שיעור

  • לימוד פתרון בעיית מקסימום שטח מלבן חסום במשולש שווי שוקיים באמצעות הגדרת משתנים, שימוש במשפט תאלס ופתרון נגזרת.
  • להגדיר משתנים מתאימים בבעיות גיאומטריות
  • להשתמש במשפט תאלס לקשר בין המשתנים
  • לכתוב ולפשט פונקציית מטרה
  • לחשב נגזרת ולמצוא נקודת קיצון
  • להעריך האם הנקודה היא מקסימום או מינימום
  • הגדרת הבעיה: הוסבר שקיים משולש שווי שוקיים עם מלבן חסום בתוכו והמשימה היא למקסם את שטח המלבן.
  • הגדרת משתנים וקשר בין משתנים: הוסבר איך להגדיר את המשתנים x ו- y ולמצוא קישור ביניהם באמצעות משפט תאלס.
  • ניסוח פונקציית המטרה: נוסחה לפונקציית שטח המלבן באמצעות x ו-y, והחלפת x לפי הקשר שמצאנו.
  • חישוב נגזרת ומציאת קיצון: מציאת הנגזרת של פונקציית השטח, חישוב הנקודה הקריטית ומציאת ערך השטח המקסימלי.

תרגול קצר

מציאת שטח מקסימלי של מלבן חסום במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש שווה שוקיים עם צלעות באורך 10, 10 ו-12. בתוך המשולש חסום מלבן עם צלעות x ו-y כפי שבתמלול. חשב את השטח המקסימלי של המלבן.

קיצוןגיאומטריהמשפט תאלסנגזרתשטח

רמז: השתמש במשפט תאלס כדי למצוא קשר בין x ל-y, ואז ביטא את שטח המלבן כפונקציה של משתנה אחד. גזור ומצא את נקודת הקיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: 24

נגדיר את המשתנים x ו-y כפי שהוסבר בשיעור. לפי משפט תאלס נקבל x = 12 - 1.5y. פונקציית השטח היא S = x * y = y*(12 - 1.5y) = 12y - 1.5y^2. נגזור: S'(y) = 12 - 3y. נשים שווה ל-0: 12 - 3y=0 => y=4. עבור y=4 נקבל x = 12 - 1.5*4 = 6. השטח המקסימלי הוא S=4*6=24.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד למצוא את שטח המלבן המקסימלי במשולש

פתרון בעיית ערך קיצון עם משפט תאלס

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שווי השטח המקסימלי של המלבן

  2. נתון 1

    משולש שווה שוקיים עם צלעות 10, 10 ו-12

  3. נתון 2

    מלבן חסום בתוך המשולש

  4. נתון 3

    משתנים x ו-y מייצגים את צלעות המלבן

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להגדיר פונקציה של השטח לפי משתנה אחד באמצעות משפט תאלס, ואז לגזור למציאת קיצון.

  6. נוסחה

    בטא את שטח המלבן כפונקציה של y בלבד

    S y = y * (12 - 1.5 y)S y = 12 y - 1.5 y^2S(y) = y * (12 - 1.5 y) = 12 y - 1.5 y^2S(y) = y (12 - 1.5 y) = 12 y - 1.5 y^(2)
  7. משוואה

    פתור את המשוואה 12 -3 y =0 עבור y

    פתור את המשוואה 12 -3 y =0 עבור y

    y = 4
  8. פישוט

    גזור את S(y) כדי למצוא נקודות קיצון

    גזור את S(y) כדי למצוא נקודות קיצון

    S prime y = 12 - 3 yS'(y) = 12 - 3 y

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדר את המשתנים x ו-y

מה עושים

הקצה את אורך המלבן ל-x ואת גובהו ל-y

למה

כדי לבטא את פונקציית השטח במונחי המשתנים הרלבנטיים

המלבן מוגדר על פי צלעות x ו-y בתוך המשולש

הקפד להגדיר את המשתנים במקום ברור במשולש.

2

בחירת שיטה

מצא קשר בין x ל-y באמצעות משפט תאלס

מה עושים

השתמש במשפט תאלס כדי לכתוב x כפונקציה של y

למה

על מנת לכתוב פונקציית השטח במשתנה יחיד

משפט תאלס מקשר בין היחסים בצלעות ובגובה המשולש

נוסחה / הצבה

x = 12 - 1.5 yx = 12 - 1.5y

זהה את היחסים הגיאומטריים באופן מדויק.

3

בניית משוואה

כתב פונקציית שטח הבחירה

מה עושים

בטא את שטח המלבן כפונקציה של y בלבד

למה

כדי להקל על מציאת נקודת הקיצון

שטח המלבן הוא x*y, לאחר הצבת x משוואה תלויה ב-y בלבד

נוסחה / הצבה

S y = y * (12 - 1.5 y)S y = 12 y - 1.5 y^2S(y) = y * (12 - 1.5 y) = 12 y - 1.5 y^2S(y) = y (12 - 1.5 y) = 12 y - 1.5 y^(2)

פשט את המשוואה לקבלת ביטוי פולינומיאלי.

4

פתרון

חשב את נגזרת פונקציית השטח

מה עושים

גזור את S(y) כדי למצוא נקודות קיצון

למה

הנגזרת שווה לאפס בנקודות שבהן יש מקסימום או מינימום

נגזרת הפונקציה היא S'(y) = 12 - 3 y

נוסחה / הצבה

S prime y = 12 - 3 yS'(y) = 12 - 3 y

ודא חישוב נכון של נגזרת פונקציה רבועית.

5

פתרון

מצא y כך ש-S'(y)=0

מה עושים

פתור את המשוואה 12 -3 y =0 עבור y

למה

נקודת הקיצון מופיעה כשנגזרת פונקציה שווה לאפס

y = 4

נוסחה / הצבה

y = 4

בדוק שהפתרון ריאלי בתחום הבעיה.

6

תשובה

חשב את שטח המלבן בשווי y שמצאנו

מה עושים

חשב x וצא את השטח S = x*y

למה

כדי לקבל את ערך השטח המקסימלי

x = 12 - 1.5*4 = 6 ו-S = 4*6 = 24

נוסחה / הצבה

S = 24

שים לב שהשטח גדול מאפס ומתאים להקשר הגיאומטרי.

פתרונות כלליים

  • מציאת שטח מקסימלי של מלבן חסום במשולש: נגדיר את המשתנים x ו-y כפי שהוסבר בשיעור. לפי משפט תאלס נקבל x = 12 - 1.5y. פונקציית השטח היא S = x * y = y*(12 - 1.5y) = 12y - 1.5y^2. נגזור: S'(y) = 12 - 3y. נשים שווה ל-0: 12 - 3y=0 => y=4. עבור y=4 נקבל x = 12 - 1.5*4 = 6. השטח המקסימלי הוא S=4*6=24.
הפריט הקודםהפריט הבא