וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.8 בעיות קיצון גרפים
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
חישוב נפח מעמד לקיפול נתון
רמת קושי: קל
נתון ריבוע של 30 על 30 ס"מ שמקפלים פינות ריבועיות של אורך x. הצג את פונקציית הנפח של המעמד כמשוואה בפונקציה של x.
רמז: השטח של הבסיס הוא (30 - 2x) בריבוע, והגובה הוא x
תשובה סופית: V = 900x - 120x^2 + 4x^3
פונקציית הנפח היא הנפח של תיבה פתוחה בלי המכסה: V = (30 - 2x)^2 * x. פותחים את הריבוע ומקבלים: V = (900 - 120x + 4x^2) * x = 900x - 120x^2 + 4x^3
מציאת ערך x למקסום נפח
רמת קושי: בינוני
בפונקציית הנפח V = 900x - 120x^2 + 4x^3, גזור את הפונקציה, מצא את ערכי ה-x עבורם הנגזרת שווה לאפס בתחום הרלוונטי, וחשב את ערך ה-x שממקסם את הנפח.
רמז: חשב נגזרת ונציב אפס, פיתרונות עם x>0 ופחות מ-15
תשובה סופית: x = 5
נגזרת: V' = 900 - 240x + 12x^2. משוואת הקיצון היא 900 - 240x + 12x^2 = 0. מחלק ב-12: 75 - 20x + x^2 = 0. משוואה ריבועית ב-x: x^2 - 20x + 75 = 0. פתרון: x = 5 או x = 15. x=15 אינו רלוונטי מכיוון שהקיפול יותר גדול או שווה למחצית הצלע. לכן x=5 מתאים למקסימום.
חישוב הנפח המקסימלי של המעמד
רמת קושי: מאתגר
השתמש בערך x=5 שמצאת כדי לחשב את הנפח המקסימלי של המעמד לטושים.
רמז: הניחו x בנוסחת הנפח המקורית
תשובה סופית: 2000 סמ"ק
V = 900*5 - 120*25 + 4*125 = 4500 - 3000 + 500 = 2000 סמ"ק
בעיית ערך קיצון עם קיפול מעמד לטושים
רמת קושי: בגרות
נניח שיש לך ריבוע של 30 ס"מ על 30 ס"מ, וקיפול של ריבועים קטנים בצידי הריבוע באורך x ס"מ, המרים דפנות ליצירת מעמד פתוח מלמעלה לטושים. מצא את ערך x שממקסם את נפח המעמד, ואת נפח המעמד המקסימלי.
רמז: 1. בניית פונקציית הנפח 2. חישוב נגזרת 3. פתרון לנגזרת שווה אפס 4. הצבה לקבלת נפח
תשובה סופית: x=5, נפח מקסימלי=2000 סמ"ק
1. נפח V = (30 - 2x)^2 * x = 900x - 120x^2 + 4x^3 2. נגזרת: V' = 900 - 240x + 12x^2 3. משוואת הנגזרת: 12x^2 - 240x + 900=0, חלקי 12: x^2 - 20x + 75=0 4. פתרונות: x=5 או x=15; רק x=5 רלוונטי 5. מציבים x=5 בנוסחה המקורית: V= 900*5 - 120*25 + 4*125 = 2000 סמ"ק
מציאת x שממקסם נפח מעמד לקיפול פינות
הגדרת פונקציית נפח כביטוי בפונקציה של x, נגזרת למציאת נקודת קיצון, הצבה לאבחון נפח מקסימלי.
V = (30 - 2x)^2 * xV = (30 - 2x)^2 x xנגזרת: V' = 900 - 240x + 12x^2, משווים לאפס ופותרים לבחירת x
900 - 240x + 12x^2 = 0900 - 240x + 12x^(2) = 0פותחים ומרכזים: V = 900x - 120x^2 + 4x^3
V = 900x - 120x^2 + 4x^3V = 900x - 120x^(2) + 4x^(3)השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
השטח ההתחלתי הוא ריבוע של 30 על 30 ס"מ, ומקפלים ריבועים קטנים של אורך x מכל פינה.
למה
כדי לייצג את המשתנים המשפיעים על גודל המעבד.
ריבוע ראשוני בגודל 30 על 30, עם קיפול אורכי x בצידי הריבוע.
זיהוי נתונים
מה עושים
הקיפול וההרמה יוצרים מעמד בעל בסיס מסוגר וגבוה x.
למה
יש לחשב נפח תיבה פתוחה עם בסיס ורוחב.
הגובה הוא X עקב הקיפול והרמה של הדפנות.
בחירת שיטה
מה עושים
יש לחשב נפח על פי ביטוי מתמטי שמשתמש ב x בלבד.
למה
פונקציית נפח תלויה באורך הבסיס והרוחב יחד עם הגובה x.
הנפח הוא מכפלת אורך, רוחב וגובה.
בניית משוואה
מה עושים
V = (30 - 2x)^2 * x
למה
לייצג נפח תיבה פתוחה עם הקיפולי x
הביטוי מוכפל: נפח הוא בסיס בריבוע (30-2x)^2 כפול גובה x.
נוסחה / הצבה
V = (30 - 2x)^2 * xV = (30 - 2x)^2 x xלשפר את הנוסחה לפולינום לפישוט
פתרון
מה עושים
פותחים ומרכזים: V = 900x - 120x^2 + 4x^3
למה
כדי להקל על נגזור ופיתרון המשוואה
משטח בסיס פתוח כתיבה כפול הגובה
נוסחה / הצבה
V = 900x - 120x^2 + 4x^3V = 900x - 120x^(2) + 4x^(3)מומלץ להשתמש בנוסחה זו לנגזור פונקציה
פתרון
מה עושים
נגזרת: V' = 900 - 240x + 12x^2, משווים לאפס ופותרים לבחירת x
למה
הקיצונות נמצאות בנקודות שבהן נגזרת שווה אפס
פתרון משוואת ריבועית
נוסחה / הצבה
900 - 240x + 12x^2 = 0900 - 240x + 12x^(2) = 0לפתור רק עבור x בטווח הפיזי הגיוני