MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.8 בעיות קיצון גרפים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
4 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.14 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.15 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.16 בעיות קיצון גרפים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון בעיות ערך קיצון באמצעות פונקציות ונגזרות, ממוקד בבעיית מציאת מרחק מינימלי בין שתי פונקציות.
  • לזהות פונקציית מטרה מבעיה נתונה
  • לגזור פונקציית מטרה ולמצוא נקודות קיצון
  • להבין כיצד לפשט ולפתור משוואות נגזרות
  • לקבוע אם נקודת קיצון היא מינימום או מקסימום בהתאם לשינוי הערך
  • ליישם את התהליך לפתירת בעיות מרחק בין פונקציות
  • ניסוח פונקציית המטרה: רישום המרחק בין שתי פונקציות כפונקציה אחת מתוך הפרש בין הפונקציות.
  • גזירה ומציאת נקודת קיצון: מציאת נקודת הקיצון על ידי גזירת פונקציית המטרה ושוויון הנגזרת לאפס.
  • פתרון המשוואות: פתרון המשוואה לאחר הכפל והפישוט עד לקבלת T=1
  • קביעת מינימום ובדיקות נוספות: זיהוי מצב המינימום דרך בדיקות השיפוע וסכום בדיקות החישוב

תרגול קצר

מציאת פונקציית מטרה

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן שתי פונקציות: f(T) = T^2 + 6 ו-g(T) = 4√T, כתבו את פונקציית המרחק בינהן בפורמט של פונקציה בודדת.

פונקציותפונקציות מרחק

רמז: הפרש בין הפונקציות הוא המרחק.

פתרון מלא

תשובה סופית: f(T) = T^2 + 6 - 4√T

פונקציית המרחק היא f(T) - g(T) כלומר T^2 + 6 - 4√T.

גזירת פונקציית המטרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את f(T) = T^2 + 6 - 4√T ביחס ל-T.

נגזרותפונקציות שורש

רמז: נגזרת של T^2 היא 2T, נגזרת של קבוע היא 0, נגזרת של 4√T היא 4 כפול נגזרת שורש T.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(T) = 2T - 2/√T

f'(T) = 2T - 4 * (1/(2√T)) = 2T - 2/√T.

פתרון משוואת הנגזרת והצגת נקודת הקיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה 2T - 2/√T = 0 למציאת נקודת הקיצון של f(T).

משוואותקיצון

רמז: כפל בשורש T להסרת השבר, העלה בריבוע לשם ביטול השורש.

פתרון מלא

תשובה סופית: T = 1

המשוואה rearranged ל: 2T = 2/√T. מכפילים ב√T: 2T√T = 2, חלק ב-2: T√T=1. מעלים בריבוע: (T√T)^2 = 1^2, כלומר T^3=1, ולכן T=1.

מצא את נקודת המינימום של פונקציית המרחק

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן פונקציית המרחק f(T) = T^2 + 6 - 4√T, מצא את ערך T שבו מתקבל המינימום של הפונקציה.

בגרותקיצוןפונקציות

רמז: גזור את פונקציית המטרה, שווה ל-0 ולמד את סוג נקודת הקיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: T=1

נגזור f'(T) = 2T - 2/√T, שווה ל-0: 2T = 2/√T, מכפילים בשורש T: 2T√T=2, T√T=1, מעלים בריבוע: T^3=1, T=1. בדיקת סימן נגזרת מצביע על מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית ערך קיצון במרחק פונקציות

מציאת ערך k שממזער את פונקציית המרחק

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך T שגורם למינימום המרחק בין הפונקציות

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(T) = T^2 + 6
  3. נתון 2

    נתון 2

    g(T) = 4√T
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    ליצור פונקציית מטרה של המרחק ואז לגזור ולפתור לנקודת קיצון.

  5. נוסחה

    נגזור את f(T) ביחס ל-T

    f'(T) = 2T - 2 / sqrt(T)f'(T) = 2T - 2/√Tf'(T) = 2T - (2)/(T)
  6. משוואה

    כפל בשורש T ופישוט

    כפל בשורש T ופישוט

    T sqrt(T) = 1T T = 1
  7. פישוט

    נחשב f'(T) = 0 ונפתור

    נחשב f'(T) = 0 ונפתור

    2T - 2 / sqrt(T) = 02T - 2/√T = 0
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מעלים בריבוע ומוצאים T=1

    T^3 = 1 , T = 1T^3 = 1, T = 1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הצגת הפונקציות

מה עושים

כתבנו את שתי הפונקציות f ו-g

למה

רוצים לתאר את המרחק ביניהן

f(T) = T^2 + 6 ו-g(T) = 4√T

2

בחירת שיטה

הגדרת פונקציית המטרה

מה עושים

הפרש בין הפונקציות הוא פונקציית המרחק

למה

זו פונקציה אחת שתלמד אותנו על המרחק

f(T) - g(T) = T^2 + 6 - 4√T

נוסחה / הצבה

f(T) = T^2 + 6 - 4 sqrt(T)f(T) = T^2 + 6 - 4√Tf(T) = T^2 + 6 - 4T

נא לשים לב לסימני ההפרש

3

בניית משוואה

גזירת פונקציית המטרה

מה עושים

נגזור את f(T) ביחס ל-T

למה

כדי למצוא נקודות שבהן הפונקציה נגזרת לאפס

f'(T) = 2T - 2/√T

נוסחה / הצבה

f'(T) = 2T - 2 / sqrt(T)f'(T) = 2T - 2/√Tf'(T) = 2T - (2)/(T)

נגזרת √T היא 1/(2√T)

4

פתרון

שוויון הנגזרת לאפס

מה עושים

נחשב f'(T) = 0 ונפתור

למה

נקודות שבהן הנגזרת 0 הן נקודות קיצון פוטנציאליות

2T - 2/√T = 0

נוסחה / הצבה

2T - 2 / sqrt(T) = 02T - 2/√T = 02T - (2)/(T) = 0
5

פתרון

פישוט המשוואה

מה עושים

כפל בשורש T ופישוט

למה

כדי לבטל את השבר ולהקל על הפתרון

2T√T = 2, T√T = 1

נוסחה / הצבה

T sqrt(T) = 1T T = 1

להעלות בריבוע לפתירת T

6

תשובה

מציאת T

מה עושים

מעלים בריבוע ומוצאים T=1

למה

פתרון המשוואה מוביל לערך 1

T^3 = 1 ⇨ T = 1

נוסחה / הצבה

T^3 = 1 , T = 1T^3 = 1, T = 1T^(3) = 1 T = 1

הקוביה של 1 היא 1

פתרונות כלליים

  • מציאת פונקציית מטרה: פונקציית המרחק היא f(T) - g(T) כלומר T^2 + 6 - 4√T.
  • גזירת פונקציית המטרה: f'(T) = 2T - 4 * (1/(2√T)) = 2T - 2/√T.
  • פתרון משוואת הנגזרת והצגת נקודת הקיצון: המשוואה rearranged ל: 2T = 2/√T. מכפילים ב√T: 2T√T = 2, חלק ב-2: T√T=1. מעלים בריבוע: (T√T)^2 = 1^2, כלומר T^3=1, ולכן T=1.
  • מצא את נקודת המינימום של פונקציית המרחק: נגזור f'(T) = 2T - 2/√T, שווה ל-0: 2T = 2/√T, מכפילים בשורש T: 2T√T=2, T√T=1, מעלים בריבוע: T^3=1, T=1. בדיקת סימן נגזרת מצביע על מינימום.
הפריט הקודםהפריט הבא