MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בפתרון בעיות ערך קיצון במבנים גיאומטריים, תוך שימוש במשפט תאלס למציאת קשר בין משתנים והפחתת מספרם בנוסחה לפונקציית מטרה, ועל ידי כך מאפשר חיפוש מיקום מקסימום השטח של מלבן חסום במשולש ישר זווית.
  • לזהות את פונקציית המטרה בבעיות קיצון גיאומטריות
  • להשתמש במשפט תאלס לקשר בין משתנים במבנה גיאומטרי
  • לפתור תרגילי מקסימום של שטח מלבן הכלוא במשולש
  • להפוך פונקציה של שני משתנים לפונקציה של משתנה יחיד באמצעות קשר גיאומטרי
  • לחפש נקודות קיצון בנגזרת ולקבוע מקסימום במצב פרקטי
  • הצגת הבעיה: הבעיה מתמקדת במציאת מידות המלבן החסום בתוך משולש ישר זווית בעל מידות 6 ו-8, כך שהשטח של המלבן יהיה מקסימלי.
  • קביעת פונקציית המטרה וקישור המשתנים: מגדירים את המשתנים x ו-y כשצלעות המלבן, ומקשרים אותם באמצעות משפט תאלס שקושר בין הגדלים במשולש לשולי המלבן.
  • פישוט והפחתת פונקציית המטרה: מבודדים משתנה אחד (x) ובוחרים להציג את פונקציית השטח ב-y בלבד, לקבלת ביטוי לתרגול נגזרת ונקודות קיצון.
  • חישוב נקודת מקסימום השטח: מחושבת נגזרת פונקציית השטח בא בחזקת y, ומוצאים את הנקודה בה הנגזרת שווה לאפס כדי למצוא את ערך y המקסימלי.

תרגול קצר

מציאת שטח מלבן חסום במשולש ישר זווית

רמת קושי: קל

ממתין

יש משולש ישר זווית עם צלעות 6 ו-8. בתוכו חסום מלבן כך שאחת הפינות שלו נמצאת על היתר. מצא את מידות המלבן כך שהשטח שלו יהיה מקסימלי.

קיצוןתאלסשטחגיאומטריה

רמז: קשר את שתי צלעות המלבן באמצעות משפט תאלס, ורשום את שטח המלבן כפונקציה של משתנה אחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: מידות המלבן: x=4, y=3; שטח מקסימלי: 12.

נגדיר x ו-y כאורכי צלעות המלבן. לפי משפט תאלס: x/8 = (6 - y)/6. לכן x = 8*(6 - y)/6. שטח המלבן S = x*y = (8/6)(6 - y)*y = (8/6)(6y - y^2). נחשב נגזרת: S' = (8/6)(6 - 2y). אפס נקבל ב: 6 - 2y = 0 ⇒ y = 3. נחשב x: x = 8*(6 - 3)/6 = 4. שטח מרבי: 4*3=12.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית המקסימום של מלבן חסום במשולש

שימוש במשפט תאלס ופתרון פונקציית שטח

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי x ו-y שממקסמים את שטח המלבן / השטח המקסימלי עצמו

  2. נתון 1

    משולש ישר זווית בעל צלעות 6 ו-8

  3. נתון 2

    מלבן חסום במשולש עם צלעות x ו-y

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לבטא את פונקציית השטח כפונקציה של משתנה אחד באמצעות משפט תאלס, ולאחר מכן למצוא נקודת קיצון של

  5. נוסחה

    הכנס את ביטוי x לתוך פונקציית השטח S = x * y.

    S = (8/6) * (6 - y) * yS = (8)/(6) (6 - y) y
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    מצא את הנגזרת S' ואפס אותה כדי למצוא y(opt).

    מצא את הנגזרת S' ואפס אותה כדי למצוא y(opt).

    S' = (8/6) * (6 - 2y)S' = (8)/(6) (6 - 2y)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    הצג את מידות המלבן ושטחו המקסימלי.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת משתנים x ו-y

מה עושים

הגדר את מידות המלבן כנעלמים x ו-y.

למה

כדי לנסח את פונקציית השטח לעבודה על משתנים אלו.

המטרה היא למקסם את שטח המלבן שניתן לכתוב כ- x כפול y.

2

זיהוי נתונים

קשר גיאומטרי בין x ו-y

מה עושים

השתמש במשפט תאלס להביע את x ביחס ל-y: x/8 = (6 - y)/6.

למה

קשר זה מאפשר ביטוי של משתנה אחד בלבד בפונקציית השטח.

משפט תאלס קובע יחס בין הקטעים במשולש ומלבן בתוכו.

3

בניית משוואה

פונקציית השטח כפונקציה של y

מה עושים

הכנס את ביטוי x לתוך פונקציית השטח S = x * y.

למה

כדי לפשט את פונקציית המטרה למשתנה יחיד.

S = (8/6)(6 - y) y

נוסחה / הצבה

S = (8/6) * (6 - y) * yS = (8)/(6) (6 - y) y
4

פתרון

חישוב נגזרת וקביעת נקודת קיצון

מה עושים

מצא את הנגזרת S' ואפס אותה כדי למצוא y(opt).

למה

נקודה בה הנגזרת שווה לאפס היא מועמדת לקיצון (מקסימום או מינימום).

S' = (8/6)(6 - 2y), אפס ⇒ 6 - 2y =0 ⇒ y=3

נוסחה / הצבה

S' = (8/6) * (6 - 2y)S' = (8)/(6) (6 - 2y)
5

פתרון

חישוב x ושטח מקסימלי

מה עושים

החלץ x עם y=3 ומצא את שטח המלבן.

למה

להשלמת הפתרון ולקבלת הנתונים המבוקשים.

x = 8*(6 - 3)/6 = 4; שטח = 4 * 3 = 12

6

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

הצג את מידות המלבן ושטחו המקסימלי.

למה

התוצאה היא פתרון הבעיה.

המידות הן 4 על 3, והשטח המקסימלי הוא 12.

פתרונות כלליים

  • מציאת שטח מלבן חסום במשולש ישר זווית: נגדיר x ו-y כאורכי צלעות המלבן. לפי משפט תאלס: x/8 = (6 - y)/6. לכן x = 8*(6 - y)/6. שטח המלבן S = x*y = (8/6)(6 - y)*y = (8/6)(6y - y^2). נחשב נגזרת: S' = (8/6)(6 - 2y). אפס נקבל ב: 6 - 2y = 0 ⇒ y = 3. נחשב x: x = 8*(6 - 3)/6 = 4. שטח מרבי: 4*3=12.
הפריט הקודםהפריט הבא