MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד כיצד לפתור בעיות אופטימיזציה בתלת מימד על ידי פינוי ריבועים מקצה כללי, קיפול המדגם וחישוב הנפח על מנת למצוא את המידות המקסימליות של מעמד.
  • להבין כיצד לבנות פונקציית מטרה במצב של פינוי וקיפול במרחב
  • ללמוד לבטא נפח במונחים של משתנה יחיד
  • למצוא נקודות קיצון של פונקציה ולקבוע האם מדובר במקסימום
  • להבין תחום מחיה ולשייך ערכים בתחום זה
  • ללמוד כיצד לגזור פונקציה רב־ריבועית ולפתור משוואות נגזרת
  • תיאור הבעיה: יש ריבועית במידות 50 על 80 ס״מ ממנה חותכים ריבועים קטנים מצדדים ומקפלים ליצירת מעמד בעל נפח משתנה.
  • הבניית פונקציית המטרה: הנפח נוסע כאורך * רוחב * גובה, כאשר הגובה הוא X, והרוחב והאורך מצטמצמים ב־2X כל אחד בגלל החיתוך.
  • פתרון להפונקציה: פותחים סוגריים, מסדרים, וגוזרים את פונקציית המטרה כדי למצוא את נקודת המקסימום בנפח.

תרגול קצר

חישוב נפח מעמד ל-X נתון

רמת קושי: קל

ממתין

אם חתכנו ריבועים בצלעות באורך 5 ס"מ מכל צד של הפלאח, חשב מהו הנפח של המעמד שנוצר.

הבנת פונקציהנפחחישוב מספרי

רמז: השתמש בפונקציית הנפח V(x) = x (80-2x)(50-2x) במקום x=5

פתרון מלא

תשובה סופית: 14000

נחליף x=5 בנוסחה: V = 5 * (80-10) * (50-10) = 5 * 70 * 40 = 14000 סמ"ק

מציאת הערך המקסימלי של הנפח

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את אורך הצלע X של הריבועים החתוכים כך שהנפח של המעמד יהיה מקסימלי.

נגזרתמקסימוםבעיות ערך קיצון

רמז: מצא את הנגזרת של פונקציית הנפח, השווה לאפס ופתור את המשוואה בנוגע ל-X בתחום המחיה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 10

V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 השווים 0 לפתרון נקודות קיצון. נתחשב בתחום 0 < X < 25. הפתרון המתקבל X = 10 נותן את המקסימום.

גזירת פונקציית נפח ומציאת נקודות קיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתח את פונקציית הנפח, סדר אותה לצורה מפושטת, גזור אותה ומצא את ערכי ה-X שבהם הנגזרת שווה לאפס.

גזירהפונקציות רב־ריבועיותפתרון משוואות ריבועיות

רמז: פתח וסדר את הנוסחה המקורית, ואז בצע גזירה של פונקציה בריבועים ובמקדמים.

פתרון מלא

תשובה סופית: X ≈ 10

פונקציית הנפח: V = x(80 - 2x)(50 - 2x) פתח וסדר: V = 4000x - 260x^2 + 4x^3 נגזור: V' = 4000 - 520x + 12x^2 נשווה לאפס ונפתור: 12x^2 - 520x + 4000=0 נפתור משוואת ריבועית ונבחר את הפתרון בתחום

משפט בעיית ערך קיצון בקיפול וריבועים חתוכים

רמת קושי: בגרות

ממתין

פלאח בגודל 50×80 ס"מ. חותכים ריבועים שווים כל קצוות באורך X ומשתמשים בחלקי הפינוי להקמת מעמד בעל נפח מקסימלי. מצא את ערך X שממקסם את הנפח.

ערך קיצוןחיתוך וקיפולגזירת פונקציה

רמז: גזור את פונקציית הנפח V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x), פתר את הנגזרת למקסימום בתחום המחיה.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = 10 ס"מ

נפח: V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x) פתח והפשט: V = 4x^3 - 260x^2 + 4000x נגזרת: V' = 12x^2 - 520x + 4000 השווה אפס ופותר לגבי תחום 0 < x < 25. הפתרון x = 10 הוא ההתאמה למקסימום הנפח. נפח מקסימלי מחושב בנוסחה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיה של מקסום נפח במעמד מקופל

קביעת אורכי החיתוך להשגת נפח מקסימלי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא אורך הצלע X של הריבועים החתוכים / נפח המעמד המקסימלי

  2. נתון 1

    אורך הפלאח המקורי: 80 ס"מ

  3. נתון 2

    רוחב הפלאח המקורי: 50 ס"מ

  4. נתון 3

    ריבועים חותכים באורך X מכל צד

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לבנות פונקציית נפח בנוגע ל-X, לגזור, ולמצוא את ערך ה-X שנותן מקסימום בתחום המחיה.

  6. נוסחה

    לחשב נפח כפונקציית X של גובה, אורך ורוחב

    V = X times (80 minus 2X) times (50 minus 2X)V = X (80 - 2X) (50 - 2X)V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x)
  7. משוואה

    פותרים משוואה ריבועית ומאתרים X בתחום

    פותרים משוואה ריבועית ומאתרים X בתחום

  8. פישוט

    פותחים סוגריים וסדר פונקציה פולינומית

    פותחים סוגריים וסדר פונקציה פולינומית

    V equals 4X cubed minus 260X squared plus 4000XV = 4X^3 - 260X^2 + 4000X

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

מכיר את מימדי הפלאח המקורי ו-X החתוך מכל צד

למה

כדי לדעת מהם הגדלים שישמשו בפונקציית הנפח

הפלאח בגודל 50 על 80 ס"מ. חותכים ריבועים באורך X מכל צד.

2

בחירת שיטה

הבעה של גדלים לאחר החיתוך

מה עושים

מבטא רוחב ואורך לאחר חיתוך הריבועים

למה

כי הנפח הוא פונקציה של המידות לאחר החיתוך

הרוחב לאחר החיתוך הוא 50 פחות 2X, האורך 80 פחות 2X

3

בניית משוואה

בניית פונקציית הנפח

מה עושים

לחשב נפח כפונקציית X של גובה, אורך ורוחב

למה

כדי למקסם את הנפח באופן מתמטי

V(X) = X * (80 - 2X) * (50 - 2X)

נוסחה / הצבה

V = X times (80 minus 2X) times (50 minus 2X)V = X (80 - 2X) (50 - 2X)V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x)

זכור נפח = אורך * רוחב * גובה

4

פתרון

פיתוח וסידור פונקציית הנפח

מה עושים

פותחים סוגריים וסדר פונקציה פולינומית

למה

קל יותר לגזור ולפתור משוואות בפונקציה מפושטת

V = 4X^3 - 260X^2 + 4000X

נוסחה / הצבה

V equals 4X cubed minus 260X squared plus 4000XV = 4X^3 - 260X^2 + 4000XV = 4x^3 - 260x^2 + 4000x

סדר טוב מבטיח גזירה נוחה יותר

5

פתרון

גזירת פונקציית הנפח

מה עושים

מחברים נגזרת ומוצאים נקודות קיצון

למה

כדי למצוא ערכי X בהם הנפח מקסימלי או מינימלי

V' = 12X^2 - 520X + 4000

נוסחה / הצבה

V prime equals 12X squared minus 520X plus 4000V' = 12X^2 - 520X + 4000V' = 12x^2 - 520x + 4000

נציב V'=0 ונפתור את המשוואה

6

פתרון

פתרון משוואת הנגזרת ובחירת X

מה עושים

פותרים משוואה ריבועית ומאתרים X בתחום

למה

על מנת למצוא את אורך החיתוך שהופך לנפח מקסימלי

הפתרון בתחום המחיה הוא X = 10

חשוב לבדוק האם הערך בתחום הגיוני וריאלי

פתרונות כלליים

  • חישוב נפח מעמד ל-X נתון: נחליף x=5 בנוסחה: V = 5 * (80-10) * (50-10) = 5 * 70 * 40 = 14000 סמ"ק
  • מציאת הערך המקסימלי של הנפח: V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 השווים 0 לפתרון נקודות קיצון. נתחשב בתחום 0 < X < 25. הפתרון המתקבל X = 10 נותן את המקסימום.
  • גזירת פונקציית נפח ומציאת נקודות קיצון: פונקציית הנפח: V = x(80 - 2x)(50 - 2x) פתח וסדר: V = 4000x - 260x^2 + 4x^3 נגזור: V' = 4000 - 520x + 12x^2 נשווה לאפס ונפתור: 12x^2 - 520x + 4000=0 נפתור משוואת ריבועית ונבחר את הפתרון בתחום
  • משפט בעיית ערך קיצון בקיפול וריבועים חתוכים: נפח: V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x) פתח והפשט: V = 4x^3 - 260x^2 + 4000x נגזרת: V' = 12x^2 - 520x + 4000 השווה אפס ופותר לגבי תחום 0 < x < 25. הפתרון x = 10 הוא ההתאמה למקסימום הנפח. נפח מקסימלי מחושב בנוסחה.
הפריט הקודםהפריט הבא