MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

א6. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
1 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א2. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל מסוים

וידאו

א3. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א4. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א5. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א6. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א7. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א8. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א9. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א10. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א11. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

סיכום שיעור

  • שיעור בנושא חישוב שטח בין פונקציות שורש רביעי באמצעות אינטגרלים, עם דגש על זיהוי תחומי האינטגרציה, חיתוך פונקציות וחישוב אינטגרל של פונקציות חזקה 4.
  • לזהות נקודות חיתוך של פונקציות שורש רביעי
  • להבין מתי צריך להחליף גבולות אינטגרציה כשמתרחש שינוי בפונקציה העליונה
  • לכתוב ולחשב אינטגרלים המייצגים שטחים בין פונקציות
  • לתרגל אינטגרציה של פונקציה חזקה 4
  • זיהוי גבולות האינטגרציה: הזיהוי נעשה על ידי פתרון המשוואות כאשר הפונקציות שוות אפס, וכן כאשר הפונקציות חותכות זו את זו.
  • חלוקה לאיזורים לחישוב השטח: השטח מחולק לשני חלקים בגלל שינוי בפונקציה העליונה, ולכן יש צורך באינטגרלים נפרדים.
  • חישוב האינטגרלים: מבוצע אינטגרל לחזקה חמישית של הפונקציות, עם תיחום הגבולות שנמצאו, וחיבור התוצאות.

תרגול קצר

חישוב נקודות חיתוך

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הפונקציות y = שורש רביעי של (2x-1) ו-y = שורש רביעי של (3x-4). מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה-x.

נקודות חיתוךשורש רביעי

רמז: השווה את כל פונקציה ל-0 ופעל כאילו פותרים משוואה עם שורש רביעי.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך הראשונה ב-x=1/2, השנייה ב-x=4/3.

ל-f(x) = שורש רביעי של (2x-1), נשווה 2x-1=0 ונקבל x=1/2.\nל-g(x) = שורש רביעי של (3x-4), נשווה 3x-4=0 ונקבל x=4/3.

מציאת נקודת חיתוך בין שתי הפונקציות

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את נקודת החיתוך בין y = שורש רביעי של (2x-1) ל-y = שורש רביעי של (3x-4) בין x=1/2 ל-x=4/3.

נקודות חיתוךשורש רביעיפתרון פונקציות

רמז: כדי למצוא נקודת חיתוך בין שתי הפונקציות שווה ביניהן והסר את השורש הרביעי בזהירות.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=1 (לאחר תיקון לאחר פתיחת הסוגריים ובדיקת תחום)

שווה 2x-1 = 3x-4. \nמתקבל x = 3.

חישוב שטח בין שתי פונקציות מפוצל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את שטח האזור המוגבל בין y = שורש רביעי של (2x-1) ו-y = שורש רביעי של (3x-4) מהנקודה x=1/2 עד x=4/3, כאשר החלוקה היא ב-x=1.

שטח בין פונקציותאינטגרליםחישוב שטח

רמז: חלק את האינטגרציה לקטעים [1/2,1] ו-[1,4/3] בהתחשב בפונקציה העליונה בכל תחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 66/15 = 4.4

שטח = ∫ מ-1/2 עד 1 ( (2x-1)^(1/4) - (3x-4)^(1/4) ) dx + ∫ מ-1 עד 4/3 ( (3x-4)^(1/4) - (3x-4)^(1/4) ) dx. \nלאחר חישוב אינטגרלים, מתקבל שטח כולל 66/15.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח בין שתי פונקציות שורש רביעי

דוגמה פשוטה ומובנת לחישוב אינטגרל שטח

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שטח האזור בין שתי הפונקציות בתחומים השונים

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = שורש רביעי של (2x-1)
  3. נתון 2

    נתון 2

    y = שורש רביעי של (3x-4)
  4. נתון 3

    תחום אינטגרציה: מ-1/2 עד 4/3

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חלק את תחום האינטגרציה ל-2 לפי נקודת החיתוך בין הפונקציות על מנת לחשב את השטח באמצעות אינטגרלים

  6. נוסחה

    כתוב את האינטגרלים לפי החלוקה מ-1/2 עד 1 ומ-1 עד 4/3

    שטח = אינטגרל מ-1/2 עד 1 של (2x-1) בחזקת 1/4 פחות (3x-4) בחזקת 1/4 dx ועוד אינטגרל מ-1 עד 4/3 של (3x-4) בחזקת 1/4 פחות (3x-4) בחזקת 1/4 dxשטח= ∫ מ-1/2 עד 1 ( (2x-1)^(1/4)
  7. משוואה

    חשב את הערך של הפונקציה המוטמעת לפי הגבולות והפחת

    חשב את הערך של הפונקציה המוטמעת לפי הגבולות והפחת

  8. פישוט

    השתמש בנוסחת האינטגרל של x בחזקת 4

    השתמש בנוסחת האינטגרל של x בחזקת 4

    אינטגרל של x^4 הוא x^5 חלקי 5אינטגרל x בחזקת 4 = x בחזקת 5 חלקי 5

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זיהוי נקודות חיתוך עם ציר x

מה עושים

השווה y ל-0 כדי למצוא חיתוכים עם ציר ה-X

למה

נקודות אלו מגדירות את גבולות האינטגרציה בהמשך

2x-1=0 נותן x=1/2. 3x-4=0 נותן x=4/3.

בחר רק נקודות רלוונטיות בתחום העניין.

2

בחירת שיטה

זיהוי חיתוך בין הפונקציות

מה עושים

השווה בין הפונקציות והסר שורש רביעי בזהירות

למה

כדי לדעת מתי הפונקציה העליונה משתנה ויש צורך בחלוקת האינטגרל

פתור 2x-1 = 3x-4 ומצא את x בהן הן שוות

בדוק את התחום אם הפתרון רלוונטי.

3

בניית משוואה

כתיבת האינטגרלים

מה עושים

כתוב את האינטגרלים לפי החלוקה מ-1/2 עד 1 ומ-1 עד 4/3

למה

כיון שהפונקציה העליונה משתנה, אינטגרציה מתבצעת בשני חלקים

שטח = ∫ מ-1/2 עד 1 [f(x) - g(x)] dx + ∫ מ-1 עד 4/3 [f(x) - g(x)] dx

נוסחה / הצבה

שטח = אינטגרל מ-1/2 עד 1 של (2x-1) בחזקת 1/4 פחות (3x-4) בחזקת 1/4 dx ועוד אינטגרל מ-1 עד 4/3 של (3x-4) בחזקת 1/4 פחות (3x-4) בחזקת 1/4 dxשטח= ∫ מ-1/2 עד 1 ( (2x-1)^(1/4)

שימו לב להחלפת הפונקציה העליונה באזור החיתוך.

4

פתרון

חשב אינטגרלים של פונקציה בחזקת 4

מה עושים

השתמש בנוסחת האינטגרל של x בחזקת 4

למה

כי הפונקציות הן שורש רביעי של פונקציה ליניארית

∫ x^4 dx = x^5/5 + C לפי הגבולות המתאימים

נוסחה / הצבה

אינטגרל של x^4 הוא x^5 חלקי 5אינטגרל x בחזקת 4 = x בחזקת 5 חלקי 5x^(4) dx = (x^(5))/(5) + C

אל תשכח להציב גבולות נכון.

5

פתרון

הצבה בגבולות וחישוב תוצאה סופית

מה עושים

חשב את הערך של הפונקציה המוטמעת לפי הגבולות והפחת

למה

למצוא את הערך המדויק של השטח בין הפונקציות

חשב והוסף את הערכים מכל אינטגרל בנפרד להוצאה סופית

בדוק שהערכים תקינים וחישוב מדויק.

6

תשובה

קבלת תוצאה סופית של השטח

מה עושים

חבר את כל התוצאות וקבל את שטח האזור

למה

סכום האינטגרלים הוא שטח האזור המבוקש

שטח כולל = 66/15 = 4.4

עיגול התוצאה לפי דרישה.

פתרונות כלליים

  • חישוב נקודות חיתוך: ל-f(x) = שורש רביעי של (2x-1), נשווה 2x-1=0 ונקבל x=1/2.\nל-g(x) = שורש רביעי של (3x-4), נשווה 3x-4=0 ונקבל x=4/3.
  • מציאת נקודת חיתוך בין שתי הפונקציות: שווה 2x-1 = 3x-4. \nמתקבל x = 3.
  • חישוב שטח בין שתי פונקציות מפוצל: שטח = ∫ מ-1/2 עד 1 ( (2x-1)^(1/4) - (3x-4)^(1/4) ) dx + ∫ מ-1 עד 4/3 ( (3x-4)^(1/4) - (3x-4)^(1/4) ) dx. \nלאחר חישוב אינטגרלים, מתקבל שטח כולל 66/15.
הפריט הקודםהפריט הבא