וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א9. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה
א10. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח
א11. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח
א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח
א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה
א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה
מציאת פונקציה קדומה מנגזרת נתונה
רמת קושי: קל
נתונה נגזרת הפונקציה y' = 3/(2x - 1)^2 + \sqrt{x}. הפונקציה y עוברת בנקודה (1,1). מצא את הפונקציה y.
רמז: יש לחשב אינטגרל של כל אחד ממונחי הנגזרת בנפרד, ולהוסיף את קבוע האינטגרציה c. לאחר מכן יש להציב את נקודת המעבר כדי למצוא את c.
תשובה סופית: y = -3 / (2*(2x - 1)) + (2/3) x^{3/2} + 11/6
אינטגרל של 3 חלקי (2x - 1)^2 הוא -3/ (2*(2x - 1)) + c1. אינטגרל של שורש x הוא x^{3/2} חלקי (3/2) = (2/3) x^{3/2} + c2. סכום האינטגרלים עם קבוע אחד c כולל. משתמשים בנתון y(1) = 1 להצבת ערכים ולמציאת c. חישוב c נותן c = 11/6. הפונקציה היא: y = -3 / (2*(2x - 1)) + (2/3)x^{3/2} + 11/6.
שלבים למציאת פונקציה y מתוך נגזרת y' וערך בנקודה
y' = 3/(2x - 1)^2 + xy(1) = 1אינטגרל את הנגזרת כדי לקבל את הפונקציה המקורית ולהשתמש בנקודת המעבר כדי למצוא את c.
אינטגרל של 1/(ax + b)^2 dx = -1/(a (ax + b)) + cאינטגרל של x^(n) dx = x^(n+1)/(n+1) + cמציבים את y=1 ו-x=1 בפונקציה ומחשבים את c.
מאחדים את קבועי האינטגרציה ומשאירים c אחד.
מציבים את ערך c ומציגים את הפונקציה y הסופית.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
מזהים את הנגזרת y' ונתון הערך בנקודה (1,1).
למה
יש צורך בנתוני הנגזרת ותנאי נקודת מעבר למציאת פונקציה ספציפית.
נתונים y' ו-y בנקודה נתונה כדי לקבוע את הפונקציה המדויקת.
וודאו הבנה של הנתונים לפני החישובים.
בחירת שיטה
מה עושים
מפצלים את y' לשני מונחים לחישוב אינטגרל נפרד.
למה
חישוב אינטגרל לכל מונח בנפרד מפשט את החישוב.
y' = 3/(2x - 1)^2 + x^{1/2}.
השתמשו בחוקי פירוק סכומים באינטגרלים.
פתרון
מה עושים
מחשבים אינטגרל של כל מונח בנפרד.
למה
האינטגרל של הנגזרת מחזיר את הפונקציה (עם c).
אינטגרל 3/(2x - 1)^2 = -3/(2*(2x - 1)) + c1. אינטגרל x^{1/2} = (2/3)x^{3/2} + c2.
נוסחה / הצבה
אינטגרל של 1/(ax + b)^2 dx = -1/(a (ax + b)) + cאינטגרל של x^(n) dx = x^(n+1)/(n+1) + cזכרו להוסיף c כללי בסוף.
פתרון
מה עושים
מאחדים את קבועי האינטגרציה ומשאירים c אחד.
למה
קבוע אינטגרציה אחד מספיק לשלב בתוצאה הסופית.
f(x) = -3/(2*(2x - 1)) + (2/3) x^{3/2} + c.
אל תשכחו להוסיף את c.
פתרון
מה עושים
מציבים את y=1 ו-x=1 בפונקציה ומחשבים את c.
למה
התנאי מאפשר לקבוע את קבוע האינטגרציה.
1 = -3/(2*(2*1 - 1)) + (2/3)*1^{3/2} + c => c = 11/6.
חשבו כל איבר בנפרד ופתרו למשוואה של c.
תשובה
מה עושים
מציבים את ערך c ומציגים את הפונקציה y הסופית.
למה
התוצאה הסופית מכילה את כל הפרמטרים הדרושים לפונקציה.
y = -3/(2*(2x-1)) + (2/3) x^{3/2} + 11/6.
הקפידו לכתוב את הפונקציה בצורה מסודרת וברורה.