MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחישוב שטח בין פונקציות באמצעות אינטגרלים. נלמד כיצד לאפיין את השטח, לקבוע פונקציה עליונה ותחתונה, לקבוע חסמים, ולבצע חישוב אינטגרלי עם הצבת גבולות על צירי ה-x.
  • לזהות פונקציה עליונה ופונקציה תחתונה בגרף השטח.
  • למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות לקביעת חסמי האינטגרציה.
  • להגדיר ביטוי מתמטי לחישוב שטח בין שתי פונקציות.
  • לבצע אינטגרציה של פונקציות חזקה (שורש וחזקה של X).
  • להשתמש במחשבון לצורך חישובי אינטגרל עם ערכים מדויקים.
  • אפיון השטח בין הפונקציות: הגדרת פונקציה עליונה, פונקציה תחתונה וחסמים אנכיים שמגדירים את השטח לחישוב.
  • חישוב נקודת החיתוך: כדי לקבוע את תחום האינטגרציה, יש לפתור את המשוואה שמגדירה את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות.
  • חישוב השטח בעזרת אינטגרלים: כתיבת הביטוי האינטגרלי לחישוב השטח בין הפונקציות בהתאם לחסמים שנמצאו, וביצוע האינטגרציה עם הצבת הגבולות.

תרגול קצר

חישוב שטח בין פונקציות

רמת קושי: קל

ממתין

בגרף נתונות הפונקציות f(x) = 5 - x ו-g(x) = שורש x. חשב את השטח בין שתי הפונקציות בתחום מ-0 עד 2.5.

אינטגרליםשטח בין פונקציותחישוב אינטגרלים

רמז: קבע מי הפונקציה העליונה והתחתונה, הגדיר את גבולות האינטגרציה, וחשב את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציות.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח בין הפונקציות מ-0 עד 2.5 הוא כ-2.183 יחידות שטח.

תחילה, הפונקציה העליונה היא f(x) = 5 - x, והתחתונה g(x) = שורש x. מצאנו כי נקודת החיתוך היא ב-x=2.5. לכן חישוב השטח הוא S = אינטגרל מ-0 עד 2.5 של [ (5 - x) - שורש x ] dx. מחשבים את האינטגרלים בנפרד: ∫ (5 - x) dx ו- ∫ שורש x dx, מציבים את הגבולות ומבצעים את ההפרש.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לחישוב שטח בין פונקציות

כיצד לחשב שטח בין הפונקציות 5 - x ו- שורש x

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שטח השטח בין הפונקציות בתחום הנתון

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = 5 - x
  3. נתון 2

    נתון 2

    g(x) = שורש x
  4. נתון 3

    תחום x מ-0 ועד 2.5

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    מצא את הפונקציה העליונה והתחתונה, קבע את גבולות האינטגרציה, וחשב את אינטגרל ההפרש בין הפונקציות.

  6. נוסחה

    פתור את המשוואה 5 - x = שורש x כדי למצוא את הגבול הימני.

    5 - x = sqrt(x)
  7. משוואה

    כתוב את הביטוי האינטגרלי המתאים לחישוב השטח בין הפונקציות.

    כתוב את הביטוי האינטגרלי המתאים לחישוב השטח בין הפונקציות.

    S = integral from 0 to 2.5 of (5 - x - sqrt(x)) dxS = _0^(2.5) (5 - x - x )dx
  8. פישוט

    הודגמו שתי הפונקציות והתחום הרצוי לחישוב השטח.

    הודגמו שתי הפונקציות והתחום הרצוי לחישוב השטח.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

הודגמו שתי הפונקציות והתחום הרצוי לחישוב השטח.

למה

יש להגדיר את המשימה ואת התחום כדי להתחיל בחישוב.

הפונקציות f(x) = 5 - x ו-g(x) = שורש x בתחום מ-0 עד 2.5.

זכור לבדוק מה הפונקציה העליונה במקטע זה.

2

בחירת שיטה

קביעת פונקציה עליונה ותחתונה

מה עושים

הגדיר מי מהפונקציות היא עליונה ומי תחתונה בקטע הנתון.

למה

כדי לחשב שטח צריך לדעת איזו פונקציה נמצאת מעל ואיזו מתחת.

בקטע זה f(x) היא הפונקציה העליונה ו-g(x) היא התחתונה.

בדוק מספר ערכים בקטע לוודא מי נמצאת מעל.

3

בניית משוואה

קביעת נקודת חיתוך

מה עושים

פתור את המשוואה 5 - x = שורש x כדי למצוא את הגבול הימני.

למה

נקודת החיתוך קובעת את הגבול העליון של האינטגרל.

פתרון המשוואה נותן x = 2.5 כגבול הימני.

נוסחה / הצבה

5 - x = sqrt(x)

ריבוע המשוואה יכול לעזור.

4

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל לחישוב השטח

מה עושים

כתוב את הביטוי האינטגרלי המתאים לחישוב השטח בין הפונקציות.

למה

נדרש ביטוי אינטגרלי כדי לחשב את השטח.

S = אינטגרל מ-0 עד 2.5 של [ (5 - x) - שורש x ] dx.

נוסחה / הצבה

S = integral from 0 to 2.5 of (5 - x - sqrt(x)) dxS = _0^(2.5) (5 - x - x )dx

הפרש בין הפונקציה העליונה לתחתונה בתוך האינטגרל.

5

פתרון

חישוב האינטגרל

מה עושים

חשב בנפרד את האינטגרלים של 5 - x ושל שורש x והציב את הגבולות.

למה

הפרדת האינטגרלים מאפשרת חשבון פשוט יותר.

∫ 5 dx = 5x, ∫ x dx = x^2 / 2, ∫ sqrt(x) dx = 2/3 x^{3/2}.

זכור את חוקי האינטגרציה לחזקות שונות.

6

תשובה

קבלת התוצאה הסופית

מה עושים

הציב את הגבולות 0 ו-2.5 ופשט את הביטוי לאיתור השטח.

למה

הצבת גבולות מביאה לתוצאה מספרית מדויקת.

S ≈ 2.183 יחידות שטח.

ניתן להשתמש במחשבון אינטגרלי לאימות.

פתרונות כלליים

  • חישוב שטח בין פונקציות: תחילה, הפונקציה העליונה היא f(x) = 5 - x, והתחתונה g(x) = שורש x. מצאנו כי נקודת החיתוך היא ב-x=2.5. לכן חישוב השטח הוא S = אינטגרל מ-0 עד 2.5 של [ (5 - x) - שורש x ] dx. מחשבים את האינטגרלים בנפרד: ∫ (5 - x) dx ו- ∫ שורש x dx, מציבים את הגבולות ומבצעים את ההפרש.