MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

א7. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
2 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א3. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א4. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א5. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א6. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א7. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א8. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א9. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א10. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א11. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחישוב שטחים בין עקומות באמצעות אינטגרלים, עם התייחסות לשטח מעל ומתחת לציר ה-x וחשיבות חילוק האינטגרל לאזורים בהתאם לשינוי סדר הפונקציות.
  • להבין כיצד לחשב שטח בין עקומות באמצעות אינטגרל כפול.
  • להבחין במצבים בהם השטח עובר בין מעל ומתחת לציר ה-x ולהתאים את גבולות האינטגרציה בהתאם.
  • ללמוד לבצע מינוס בין פונקציות לפי סדרם באינטגרל.
  • להבצע הצבות בביטוי האינטגרל לחישוב הערך המספרי של השטח.
  • הבחנה בין שטח מעל ומתחת לציר ה-x: בחלקים שונים של התחום, הפונקציות יכולות להיות מעל או מתחת לציר ה-x והסימון צריך לשקף זאת על מנת לקבל את השטח האמיתי.
  • חישוב אינטגרלים לפי אזורי חיתוך: חישוב האינטגרל נעשה בנפרד על כל אזור בהתאם לפונקציה העליונה והתחתונה, ומחברים את התוצאות.

תרגול קצר

חישוב שטח בין שתי עקומות עם חיתוך בציר ה-x

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את השטח בין הפונקציות f(x)=x² ו-g(x)=2x בנקודות החיתוך בין 0 ל-3, כאשר יש שינוי בסדר הפונקציות בחיתוך ב-x=2.

אינטגרליםשטח בין עקומותחיתוך בין פונקציות

רמז: חלק את האינטגרל לשני תחומים: מ-0 עד 2, ומ-2 עד 3, וחשב אינטגרל כל פעם בהפרש המתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/3

מחלקים את האינטגרל: שטח = אינטגרל מ-0 עד 2 של (2x - x²) dx + אינטגרל מ-2 עד 3 של (x² - 2x) dx חישובים: אינטגרל של 2x היא x² אינטגרל של x² היא x³ חלקי 3 אז מה שנקבל: מ0 עד 2: [x² - x³/3] מ-0 עד 2 = (4 - 8/3) - 0 = 4 - 8/3 = 4/3 מ2 עד 3: [x³/3 - x²] מ-2 עד 3 = ((27/3) - 9) - ((8/3) - 4) = (9 -9) - (8/3 -4) = 0 - (8/3 -4)= 4 - 8/3 = 4/3 סך הכל השטח = 4/3 + 4/3 = 8/3

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לחישוב שטח בין עקומות

שטח בין הפונקציות עם חיתוך בנקודה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שטח כולל בין הפונקציות בתחום מ-0 עד 3

  2. נתון 1

    f(x) ו-g(x) מוגדרות בין 0 ל-3

  3. נתון 2

    נתון 2

    יש חיתוך בנקודה x=2
  4. נתון 3

    השטח מחושב כאינטגרל של הפרש הפונקציות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחלק את האינטגרל לשני תחומים לפי נקודת החיתוך, לחשב כל אחד בנפרד, ואז לחבר.

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    רושמים את האינטגרלים באופן מפורט

    רושמים את האינטגרלים באופן מפורט

  8. פישוט

    יודעים את הפונקציות ואת תחום החישוב

    יודעים את הפונקציות ואת תחום החישוב

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים כלליים של הפונקציות

מה עושים

יודעים את הפונקציות ואת תחום החישוב

למה

חשוב להבין איפה משנים את הסדר בין הפונקציות להפרש באינטגרל

יש נקודת חיתוך ב-x=2 בין הפונקציות שבו הן מתחלפות בסדרן.

2

זיהוי נתונים

תחום האינטגרציה והחיתוך

מה עושים

מחלקים את התחום לשני חלקים: 0-2 ו-2-3

למה

כדי לחשב נכון את ההפרש בין הפונקציות בכל תחום.

בחלק 0-2 הפונקציה g(x) עליונה, בחלק 2-3 הפונקציה f(x) עליונה.

3

בחירת שיטה

חישוב אינטגרל הפרש בין הפונקציות בכל תחום

מה עושים

לחשב אינטגרל נפרד בכל תחום על פי הפונקציה העליונה פחות התחתונה

למה

ככה ניתן לחשב שטח כשיש שינוי סדר בין הפונקציות.

נחשב אינטגרל של (g(x)-f(x)) מ-0 עד 2 ואינטגרל של (f(x)-g(x)) מ-2 עד 3.

נוסחה / הצבה

S = אינטגרל מ 0 עד 2 של (g(x) פחות f(x)) dx+ אינטגרל מ 2 עד 3 של (f(x) פחות g(x)) dxשטח= אינטגרל מ-0 עד 2 (g(x)-f(x)) dx+ אינטגרל מ-2 עד 3 (f(x)-g(x)) dx

להקפיד על הסדר של הפונקציות בכל תחום.

4

בניית משוואה

כתיבת אינטגרלים לנוסחה

מה עושים

רושמים את האינטגרלים באופן מפורט

למה

להבהיר את הגבולות והפרשי הפונקציות בכל תחום.

S = אינטגרל מ-0 עד 2 של (2x - x²) dx + אינטגרל מ-2 עד 3 של (x² - 2x) dx

יש לשים לב לשינוי בדרגת הפונקציות לפי התחום.

5

פתרון

חישוב אינטגרלים והצבת גבולות

מה עושים

לחשב את האינטגרלים ולהציב ערכים

למה

כדי לקבל ערך מספרי לשטח.

אינטגרל 2x = x² & אינטגרל x² = x³ / 3. מציבים ומבצעים חישוב מספרי לפי הגבולות.

לעשות את הצבת הגבולות בקפידה.

6

פתרון

פישוט הביטוי ומציאת השטח הכולל

מה עושים

מפשטים את ההפרשים ומוסיפים את שני הביטויים

למה

לקבלת שטח סופי ומדויק בין העקומות.

השטח הכולל הוא סכום אינטגרלים משני התחומים, התוצאה הסופית היא 8/3.

זכרו לעשות בקרה להצבות כדי לוודא את התוצאה.

פתרונות כלליים

  • חישוב שטח בין שתי עקומות עם חיתוך בציר ה-x: מחלקים את האינטגרל: שטח = אינטגרל מ-0 עד 2 של (2x - x²) dx + אינטגרל מ-2 עד 3 של (x² - 2x) dx חישובים: אינטגרל של 2x היא x² אינטגרל של x² היא x³ חלקי 3 אז מה שנקבל: מ0 עד 2: [x² - x³/3] מ-0 עד 2 = (4 - 8/3) - 0 = 4 - 8/3 = 4/3 מ2 עד 3: [x³/3 - x²] מ-2 עד 3 = ((27/3) - 9) - ((8/3) - 4) = (9 -9) - (8/3 -4) = 0 - (8/3 -4)= 4 - 8/3 = 4/3 סך הכל השטח = 4/3 + 4/3 = 8/3
הפריט הקודםהפריט הבא