הסבר על פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית בנושא חישוב קודקוד משולש באמצעות נקודת האמצע של צלעו. נלמד כיצד לבודד ערכים במשוואה ולהשתמש בנוסחת אמצע הקטע כדי למצוא את הקודקוד החסר.
להכיר את נוסחת אמצע הקטע במישור הקרטזי
ללמוד כיצד לבודד משתנים במשוואות אנליטיות
לפתור משוואות פשוטות בשימוש בנקודות אמצע
לפתח חשיבה אינטואיטיבית לגאומטריה אנליטית
הצגת הבעיה והנתונים: המשולש ניתנת בצורה חלקית, ידועים נקודות האמצע של הצלעות אך לא הקודקודים. מטרת השיעור למצוא את הקודקודים החסרים.
שימוש בנוסחת אמצע הקטע: הוסבר כיצד ניתן לשנות את הנוסחה ולבודד משתנים אחרים, לא רק את הממוצע אלא קודקודים בודדים, מה שמקל על פתרון המשוואות.
פתרון המשוואות והסקת התוצאה: באמצעות החלפת הערכים במשוואה מובאות משוואות פשוטות, שהן פתירות בצורה יעילה להוצאת הקודקודים הנדרשים.

תרגול קצר

מציאת קודקוד לפי נקודת האמצע

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נקודת האמצע של קטע המקשרת בין שני קודקודים A ו-B. הקודקוד A ידוע כ-(1,6) ונקודת האמצע היא (1.5, -1). מצא את הקודקוד B.

הנדסה אנליטיתנוסחת אמצע הקטעקודקודים

רמז: השתמש בנוסחת אמצע הקטע. אפשר לבודד את ערכי B משוואות האמצע.

פתרון מלא

תשובה סופית: קודקוד B הוא (2, -8)

נקודת האמצע נתונה כ-(Xm, Ym) = ((X1+X2)/2, (Y1+Y2)/2). ניתן לבודד את X2 ו-Y2 לפי הנוסחאות: X2 = 2*Xm - X1, Y2 = 2*Ym - Y1. מחליפים את הערכים: X2 = 2*1.5 - 1 = 2, Y2 = 2*(-1) - 6 = -8. לכן, קודקוד B הוא (2, -8).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת קודקוד משולש מנקודת אמצע

חישוב קואורדינטות קודקוד חסר על ידי נקודת האמצע והקודקוד השני

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא קודקוד B (X2, Y2)
נתון 1
נקודת האמצע: (1.5, -1)
נתון 2
קודקוד A: (1, 6)
רעיון
הרעיון המרכזי
לבודד את קואורדינטות הקודקוד החסר מתוך נוסחת אמצע הקטע ולהחליף ערכים נתונים.
נוסחה
כפול שני הצדדים ב-2 ובודדים את X2 ו-Y2
X2 = 2 * Xm - X1Y2 = 2 * Ym - Y1
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחליפים את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל את X2 ו-Y2
מחליפים את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל את X2 ו-Y2
X2 = 2 * 1.5 - 1 = 2Y2 = 2 * (-1) - 6 = -8
תוצאה
מסיימים בתשובה
הקודקוד B הוא (2, -8)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

קודקוד אמצעי וקודקוד ידוע

מה עושים

יש את נקודת האמצע (1.5, -1) וקודקוד A (1, 6)

למה

קואורדינטות אלו מאפשרות להציב נוסחאות לאמצע הקטע

קודקוד A וקואורדינטות נקודת האמצע נתונות מראש.

בחירת שיטה

נוסחת אמצע הקטע

מה עושים

לזכור שנקודת האמצע היא הממוצע של הקואורדינטות

למה

זה הבסיס למציאת הקודקוד החסר

הנוסחה היא Xm = (X1 + X2)/2 , Ym = (Y1 + Y2)/2

נוסחה / הצבה

Xm = (X1 + X2) / 2Ym = (Y1 + Y2) / 2

ניתן לשנות את הנוסחה כדי לבודד X2 ו-Y2

בניית משוואה

בודדים את הקודקוד החסר

מה עושים

כפול שני הצדדים ב-2 ובודדים את X2 ו-Y2

למה

לפשט את הפתרון דווקא לפי הקודקוד החסר

מכפילים ב-2 ומבודדים: X2 = 2*Xm - X1 , Y2 = 2*Ym - Y1

נוסחה / הצבה

X2 = 2 * Xm - X1Y2 = 2 * Ym - Y1

כדי להימנע מטעויות כדאי להחליף מיד ערכים

פתרון

הכנסת הערכים וחישוב התוצאה

מה עושים

מחליפים את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל את X2 ו-Y2

למה

כדי לקבל מיקום מדויק של קודקוד B

X2 = 2*1.5 - 1 = 2, Y2 = 2*(-1) - 6 = -8

נוסחה / הצבה

X2 = 2 * 1.5 - 1 = 2Y2 = 2 * (-1) - 6 = -8

שימו לב לסימני החיסור בעת חישוב הערכים

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

הקודקוד B הוא (2, -8)

למה

זה המיקום המדויק שקובע את צלע המשולש

מקבל את מיקום הקודקוד שרצינו למצוא.

פתרונות כלליים

מציאת קודקוד לפי נקודת האמצע: נקודת האמצע נתונה כ-(Xm, Ym) = ((X1+X2)/2, (Y1+Y2)/2). ניתן לבודד את X2 ו-Y2 לפי הנוסחאות: X2 = 2*Xm - X1, Y2 = 2*Ym - Y1. מחליפים את הערכים: X2 = 2*1.5 - 1 = 2, Y2 = 2*(-1) - 6 = -8. לכן, קודקוד B הוא (2, -8).

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם אמצע קטע

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא קודקוד B (X2, Y2)

נקודת האמצע: (1.5, -1)

קודקוד A: (1, 6)

הרעיון המרכזי

כפול שני הצדדים ב-2 ובודדים את X2 ו-Y2

נבנה משוואה

מחליפים את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל את X2 ו-Y2

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

קודקוד אמצעי וקודקוד ידוע

נוסחת אמצע הקטע

בודדים את הקודקוד החסר

הכנסת הערכים וחישוב התוצאה

תוצאה סופית

פתרונות כלליים