שיעור בנושא פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית באמצעות שימוש במשפט הקוסינוסים ונוסחאות טריגונומטריות לחישוב שטח משולש.
לחשב אורך צלעות במשולש באמצעות נוסחאות מרחק.
להשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת זווית במשולש.
לחשב שטח משולש בעזרת נוסחאות טריגונומטריות.
לקשר בין גיאומטריה אנליטית לטריגונומטריה בפתרון בעיות.
חישוב אורך צלעות: חשבנו את אורכי הצלעות על ידי שימוש בנוסחת המרחק בין שני נקודות במישור.
זיהוי סוג המשולש: בדקנו האם המשולש הוא משולש שווה שוקיים והאם הגובה הוא גם אמצע.
חישוב זווית במשולש: השתמשנו במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את הזווית בין שתי צלעות.
חישוב שטח המשולש: השתמשנו בנוסחה לשטח משולש מסוג 1/2 * צלע א' * צלע ב' * סינוס הזווית ביניהן.

תרגול קצר

חישוב אורך צלע משולש

רמת קושי: קל

ממתין

מצא את אורך הצלע בין הנקודות (4,5) ל-(2,1) במישור הקרטזי

נוסחת_מרחקחישוב_אורכים

רמז: השתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-4.47

הפרש ב-X הוא 4-2=2, בריבוע זה 4. הפרש ב-Y הוא 5-1=4, בריבוע זה 16. סכום הריבועים הוא 20, שורש 20 הוא כ-4.47.

מציאת זווית במשולש בעזרת משפט הקוסינוסים

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש עם צלעות אורך 9, 9 ו-12, מצא את הזווית שמול הצלע באורך 12.

משפט_הקוסינוסיםזווית

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos γ

פתרון מלא

תשובה סופית: γ= acos(1/9)

חשבנו 12^2=9^2+9^2 -2*9*9*cos γ ⟹ 144=81+81-162 cos γ ⟹ 144=162 -162 cos γ ⟹ 162 cos γ=162-144=18 ⟹ cos γ=18/162=1/9 ⟹ γ=acos(1/9)

חישוב שטח משולש בעזרת טריגונומטריה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את שטח המשולש עם צלעות 72, 90, ו-90 באמצעות חצי כפול שתי צלעות כפול סינוס הזווית

שטחטריגונומטריההנדסה אנליטית

רמז: חפש את הזווית בין שתי צלעות באמצעות משפט הקוסינוסים ואז השתמש בנוסחה לשטח

פתרון מלא

תשובה סופית: 36

חישבנו תחילה את הזווית α מול הצלע 72 בעזרת משפט הקוסינוסים: 72^2=90^2+90^2-2*90*90*cos α, ואז לקחנו את שטח=0.5*90*90*sin α =36 (עגול).

תיאום בין גיאומטריה אנליטית וטריגונומטריה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון משולש עם נקודות נתונות במישור. חשב את השטח על ידי חישוב אורכים, זוויות ומשטח בעזרת נוסחאות טריגונומטריות.

אנליטיתטריגונומטריהשטח

רמז: שלב את חישובי האורכים מהצירים, עבוד עם משפט הקוסינוסים ואז חשב שטח משולש.

פתרון מלא

תשובה סופית: 36

מחשב אורכי הצלעות עם נוסחת המרחק, מזהה משולש שווה שוקיים, מחשב זווית α עם משפט הקוסינוסים, ולבסוף שטח בעזרת נוסחת חצי*a*b*sin α.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח משולש בהנדסה אנליטית

פתרון דרך חישוב אורכים, זווית ושטח משולש

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח המשולש
נתון 1
נתון 1
צלע א' = 72
נתון 2
נתון 2
צלע ב' = 90
נתון 3
נתון 3
צלע ג' = 90
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הזווית בין שתי צלעות עם משפט הקוסינוסים ונשתמש בנוסחת שטח משולש טריגונומטרית.
נוסחה
השתמש בנוסחה שטח = (1/2)*90*90*sin(α).
שטח = 0.5 * 90 * 90 * sin(α)שטח = 0.5 x 90 x 90 x ()
משוואה
נכתוב 72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α).
נכתוב 72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α).
72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α)72^(2) = 90^(2) + 90^(2) - 2 x 90 x 90 x ()
פישוט
פשט את המשוואה למציאת cos(α) ואז α = acos(cos(α)).
פשט את המשוואה למציאת cos(α) ואז α = acos(cos(α)).
cos(α) = (90^2 + 90^2 - 72^2) / (2 * 90 * 90)() = (90^(2) + 90^(2) - 72^(2))/(2 x 90 x 90)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הנתונים

מה עושים

רשום את אורכי הצלעות הנתונות: 72, 90, 90.

למה

אלה האורכים הדרושים למציאת הזווית והשטח.

המשולש עם שלוש צלעות באורכים נתונים.

בחירת שיטה

זיהוי הזווית הרצויה

מה עושים

נבחר לחשב את הזווית שמול הצלע באורך 72.

למה

נזדקק לזווית זו בחישוב השטח בעזרת סינוס.

זווית אלפא מול הצלע 72.

בניית משוואה

כתיבת משוואת משפט הקוסינוסים

מה עושים

נכתוב 72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α).

למה

משוואה זו מאפשרת למצוא את cos(α).

משפט הקוסינוסים בין אורכי צלעות וזווית.

נוסחה / הצבה

72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α)72^(2) = 90^(2) + 90^(2) - 2 x 90 x 90 x ()

השתמש בנוסחה לחישוב זווית במשולש.

פתרון

חישוב cos(α) ו-α

מה עושים

פשט את המשוואה למציאת cos(α) ואז α = acos(cos(α)).

למה

נדרש ערך הזווית לשימוש בנוסחת השטח.

מציאת הערך המדויק של α ברדיאנים או מעלות.

נוסחה / הצבה

cos(α) = (90^2 + 90^2 - 72^2) / (2 * 90 * 90)() = (90^(2) + 90^(2) - 72^(2))/(2 x 90 x 90)

חשב בעזרת מחשבון מדעי.

בניית משוואה

נוסחת שטח המשולש עם הסינוס

מה עושים

השתמש בנוסחה שטח = (1/2)*90*90*sin(α).

למה

נוסחה זו מחשבת את שטח המשולש מהצלעות והזווית שביניהן.

נוסחה סטנדרטית לשטח משולש טריגונומטרי.

נוסחה / הצבה

שטח = 0.5 * 90 * 90 * sin(α)שטח = 0.5 x 90 x 90 x ()

פתרון

חישוב הערך הסופי

מה עושים

חשב את שטח המשולש בעקבות כפל הנוסחה עם סינוס הזווית.

למה

קיבלנו את השטח הסופי.

שטח = 36 ביחידות ריבועיות.

עיגול לתוצאה הגיונית.

פתרונות כלליים

חישוב אורך צלע משולש: הפרש ב-X הוא 4-2=2, בריבוע זה 4. הפרש ב-Y הוא 5-1=4, בריבוע זה 16. סכום הריבועים הוא 20, שורש 20 הוא כ-4.47.
מציאת זווית במשולש בעזרת משפט הקוסינוסים: חשבנו 12^2=9^2+9^2 -2*9*9*cos γ ⟹ 144=81+81-162 cos γ ⟹ 144=162 -162 cos γ ⟹ 162 cos γ=162-144=18 ⟹ cos γ=18/162=1/9 ⟹ γ=acos(1/9)
חישוב שטח משולש בעזרת טריגונומטריה: חישבנו תחילה את הזווית α מול הצלע 72 בעזרת משפט הקוסינוסים: 72^2=90^2+90^2-2*90*90*cos α, ואז לקחנו את שטח=0.5*90*90*sin α =36 (עגול).
תיאום בין גיאומטריה אנליטית וטריגונומטריה: מחשב אורכי הצלעות עם נוסחת המרחק, מזהה משולש שווה שוקיים, מחשב זווית α עם משפט הקוסינוסים, ולבסוף שטח בעזרת נוסחת חצי*a*b*sin α.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג3. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח המשולש

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

השתמש בנוסחה שטח = (1/2)*90*90*sin(α).

נכתוב 72^2 = 90^2 + 90^2 - 2 * 90 * 90 * cos(α).

פשט את המשוואה למציאת cos(α) ואז α = acos(cos(α)).

פתרון מפורט

הגדרת הנתונים

זיהוי הזווית הרצויה

כתיבת משוואת משפט הקוסינוסים

חישוב cos(α) ו-α

נוסחת שטח המשולש עם הסינוס

חישוב הערך הסופי

פתרונות כלליים

השתמש בנוסחה שטח = (1/2)9090*sin(α).