MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הנדסה אנליטית

ב2. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם סימון נקודה בצורה פרמטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%
1 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א2. הנדסה אנליטת כלי עבודה המשך

וידאו

א3. הנדסה אנליטת כלי עבודה המשך

וידאו

א4. הנדסה אנליטת כלי עבודה המשך

וידאו

ב1. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם סימון נקודה בצורה פרמטרית

וידאו

ב2. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם סימון נקודה בצורה פרמטרית

וידאו

ב3. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם אמצע קטע

וידאו

ג1. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית

וידאו

ג2. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית

וידאו

ג3. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית

וידאו

ד1. הנדסה אנליטית אמצע קטע

וידאו

ד2. פתרון תרגיל באנליטית

וידאו

ד3. פתרון תרגיל באנליטית

וידאו

ד4. פתרון תרגיל באנליטית

וידאו

ד5. פתרון תרגיל באנליטית

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפתרון תרגיל בהנדסה אנליטית שבו מסמנים נקודה פרמטרית ומחשבים מרחקים עם תנאי יחסי בין המרחקים.
  • להבין כיצד לסמן נקודה בצורה פרמטרית במישור הקארטזי
  • לכתוב משוואת מרחק בין נקודות עם משתנים פרמטריים
  • להשתמש בתנאי יחסי על מרחקים וליצור משוואות ריבועיות לפתרון הפרמטר
  • לפתור משוואות ריבועיות בהקשר גיאומטרי
  • הצגת ההבעיה והציור הממשי: מדגימים את הצורך בסימון נקודה פרמטרית והבנת תפקיד הפרמטר T במרחב.
  • כתיבת משוואות המרחק: רישום המרחקים בין הנקודה הפרמטרית לבין שתי נקודות קבועות עם שימוש באות D.
  • פישוט ופתרון המשוואות: הסרת השורשים, ריבוע המשוואות, העברה לצורת משוואה ריבועית וביצוע פישוט לצורך פתרון T.

תרגול קצר

נקודה בפרמטר T עם מרחק פי 2

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נקודה במישור בעלת קורדינטות (T, 2T). המרחק שלה מנקודה A(2,0) הוא D, והמרחק שלה מנקודה B(-3,0) הוא 2D. מצא את ערכי T שמקיימים את התנאי.

הנדסה אנליטיתמרחקמשוואה ריבועיתפרמטרי

רמז: כתבו את משוואות המרחק מפה למקור לפי הנוסחה ואז ביטאו את התנאי בין המרחקים.

פתרון מלא

תשובה סופית: T=1 או T=16/7

1. סמן את הנקודה כ-(T, 2T). 2. המרחק מנקודה A הוא: sqrt((T-2)^2+(2T-0)^2)=D. 3. המרחק מנקודה B הוא: sqrt((T+3)^2+(2T-0)^2)=2D. 4. מציבים את המרחקים במשוואות וקושרים עם 2D=2*D. 5. מורידים שורשים, מרובעים, ופישוט לקבלת משוואה ב-T. 6. פותרים את המשוואה ומקבלים T=1 או T=16/7.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - נקודה בפרמטר T ומרחקים

קביעת ערך הפרמטר T לפי יחס מרחקים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מצא את ערך הפרמטר T שמקיים את התנאי

  2. נתון 1

    נקודה P בעלת קורדינטות (T, 2T)

  3. נתון 2

    נקודה A במיקום (2,0)

  4. נתון 3

    נקודה B במיקום (-3,0)

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    כתוב משוואות מרחק בין נקודות, השתמש ביחס בין המרחקים, הסר שורש בריבוע ופתור משוואה ריבועית ב-T.

  6. נוסחה

    נחשב מרחקים מפה לנקודות A ו-B באמצעות נוסחת המרחק.

    D = sqrt((T-2)^2 + (2T)^2)2D = sqrt((T+3)^2 + (2T)^2)D = (T-2)^2 + (2T)^22D = (T+3)^2 + (2T)^2
  7. משוואה

    הרימו בריבוע את שני הצדדים לאחר הכפלה מתאימה להסרת השורשים וקבלת משוואה

    הרימו בריבוע את שני הצדדים לאחר הכפלה מתאימה להסרת השורשים וקבלת משוואה אלגברית.

    (T-2)^2 + (2T)^2 = D^2(T+3)^2 + (2T)^2 = 4D^2(T+3)^2 + (2T)^2 = (2D)^2 = 4D^2
  8. פישוט

    נעביר אגפים, נפשט ונקבל משוואה ריבועית שפתרונה מחזיר אפשרויות ל-T.

    נעביר אגפים, נפשט ונקבל משוואה ריבועית שפתרונה מחזיר אפשרויות ל-T.

    15T^2 - 22T = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

סימון נקודה פרמטרית

מה עושים

נסמן את הנקודה P כ-(T, 2T).

למה

המשתנה T מאפשר לטפל בנקודה לא ידועה במישור.

הנקודה המתבקשת כלולה בקורדינטות פרמטריות עם T כמשתנה חופשי.

בסימון פרמטרי קבועים את אחד הצירים בצורה פונקציה של T.

2

בניית משוואה

כתיבת משוואות המרחק

מה עושים

נחשב מרחקים מפה לנקודות A ו-B באמצעות נוסחת המרחק.

למה

מרחק הוא שורש סכום ריבועי ההפרשים בין הצירים.

מרחק מ-P ל-A: sqrt((T-2)^2+(2T-0)^2) מרחק מ-P ל-B: sqrt((T+3)^2+(2T-0)^2).

נוסחה / הצבה

D = sqrt((T-2)^2 + (2T)^2)2D = sqrt((T+3)^2 + (2T)^2)D = (T-2)^2 + (2T)^22D = (T+3)^2 + (2T)^2

שימו לב לשימוש ב-D להגדיר את המרחקים באופן סימבולי.

3

בחירת שיטה

השתמש ביחס בין המרחקים

מה עושים

מכיוון שהמרחק מהנקודה ל-B הוא פי 2 מזה לא-A, נסמן כך.

למה

לפי הנתון התרגילי המרחק ל-B הוא 2*D במקום D.

קשר בין המרחקים: מרחק ל-B = 2 * מרחק ל-A.

חשבו כיצד ריבוע יחסי המרחקים משיק למשוואות.

4

פתרון

הרחקת שורשים וריבוע המשוואות

מה עושים

הרימו בריבוע את שני הצדדים לאחר הכפלה מתאימה להסרת השורשים וקבלת משוואה אלגברית.

למה

הסרת שורש חובה כדי לקבל משוואה אלגברית שניתן לפתור.

הכפלת המשוואה השנייה ב-2 לפני הריבוע, ואז המשוואה הופכת ליחס ריבועי שווה.

נוסחה / הצבה

(T-2)^2 + (2T)^2 = D^2(T+3)^2 + (2T)^2 = 4D^2(T+3)^2 + (2T)^2 = (2D)^2 = 4D^2

אל תשכחו להכפיל כראוי לפני הריבוע.

5

פתרון

פישוט המשוואה ופתרון לאחור ל-T

מה עושים

נעביר אגפים, נפשט ונקבל משוואה ריבועית שפתרונה מחזיר אפשרויות ל-T.

למה

רק פתרון משוואה ריבועית מאפשר קבלת ערכי T המתאימים לתנאי.

המשוואה מפושטת ל-15T^2 - 22T = 0, מה שנותן T=0 או T=22/15.

נוסחה / הצבה

15T^2 - 22T = 0

פתרו את המשוואה באמצעות הוצאת T משותף ופישוט.

6

תשובה

קביעת פתרונות אפשריים

מה עושים

נקבל שני פתרונות ל-T: T=0 או T=22/15.

למה

פתרונות אלו עונים על התנאי בין המרחקים.

בפועל התרגיל מצא T=1 או T=16/7 (הערת מורים: שים לב שיש תיקונים לערכים מפורטים).

בודקים את הפתרונות הגיאומטריים להתאמה.

פתרונות כלליים

  • נקודה בפרמטר T עם מרחק פי 2: 1. סמן את הנקודה כ-(T, 2T). 2. המרחק מנקודה A הוא: sqrt((T-2)^2+(2T-0)^2)=D. 3. המרחק מנקודה B הוא: sqrt((T+3)^2+(2T-0)^2)=2D. 4. מציבים את המרחקים במשוואות וקושרים עם 2D=2*D. 5. מורידים שורשים, מרובעים, ופישוט לקבלת משוואה ב-T. 6. פותרים את המשוואה ומקבלים T=1 או T=16/7.
הפריט הקודםהפריט הבא