השיעור מפנה דרך לפתרון תרגיל במרחק נקודה מישר באנליטיקה, באמצעות שתי גישות: גישה ישירה עם משוואות ישרים, וגישת נקודה פרמטרית על הישר.
לפתור את המרחק מנקודה לישר באנליטיקה.
להבין כיצד לייצג נקודה על ישר פורמלית במשתנה פרמטרי.
להשוות בין שתי גישות לפתרון בעיות בהנדסה אנליטית.
גישה ראשונה – משוואות ישרים והמרחק: פירוק המשוואות של שני ישרים, חישוב נקודת החיתוך, והערכת מרחק בין נקודה לישר באמצעות חישוב פיתגורס של הפערים בין נקודות.
גישה שנייה – ייצוג פרמטרי של נקודה על הישר: שימוש בפרמטר t לייצוג נקודה על הישר נתון, בניית משוואות לפי השיפוע בין הנקודה הנתונה לנקודה על הישר, וחישוב t כדי למצוא נקודת השקה ומרחק.

תרגול קצר

חישוב מרחק נקודה מהישר

רמת קושי: קל

ממתין

נתון הישר y = -3x + 6 ונקודה (7,5). חשב את המרחק בין הנקודה לישר.

מרחקהנדסה אנליטיתישרנקודה

רמז: ניתן להשתמש בנוסחת המרחק מנקודה לישר או להגדיר נקודה על הישר בפרמטר t.

פתרון מלא

תשובה סופית: המרחק בין הנקודה לישר הוא כ-6.32.

נרשום את משוואת הישר בצורה סטנדרטית: 3x + y - 6 = 0. נשתמש בנוסחת המרחק: d = |3*7 + 1*5 - 6| / sqrt(3^2 + 1^2) = |21 + 5 - 6| / sqrt(9 + 1) = |20| / sqrt(10) = 20 / 3.16 ≈ 6.32.

חישוב נקודה על ישר במתודה פרמטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

על ישר y = -3x + 6, נסמן נקודה בפרמטר t כך ש-x = t. כתוב את y כפונקציה של t ומצא את ערך t כך שהשיפוע בין הנקודה (7,5) לנקודה על הישר יהיה 1/3.

פרמטרשיפוענקודהישר

רמז: y = -3t + 6. שיפוע בין (7,5) ל-(t,y(t)) הוא שבר של הפרשי y על הפרשי x.

פתרון מלא

תשובה סופית: הערך של t הוא 1, כלומר הנקודה היא (1, 3).

y = -3t + 6. השיפוע הוא (5 - y) / (7 - t) = 1/3 נציב y ונקבל: (5 - (-3t + 6)) / (7 - t) = 1/3 (5 + 3t - 6) / (7 - t) = 1/3 (3t -1) / (7 - t) = 1/3 נעשה cross multiply: 3(3t -1) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 9t + t = 7 + 3 10t = 10 t = 1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב המרחק מנקודה לישר

בשיטות שונות באנליטיקה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מרחק נקודה P מהישר
נתון 1
נקודה P(7,5)
נתון 2
נתון 2
ישר y = -3x + 6
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא נקודה על הישר הקרובה לנקודה הנתונה ואז נחשב את המרחק בין שתי הנקודות.
נוסחה
נחשב את השיפוע בין (7,5) לנקודת (t, -3t + 6) ונשווה לשיפוע 1/3.
(5 - (-3t + 6)) / (7 - t) = 1/3
משוואה
נקודת P עם קואורדינטות (7,5) וישר הנתון במשוואה y = -3x + 6.
נקודת P עם קואורדינטות (7,5) וישר הנתון במשוואה y = -3x + 6.
פישוט
נכפיל ונפשט: 3(5 + 3t - 6) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 10t = 10 t = 1
נכפיל ונפשט: 3(5 + 3t - 6) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 10t = 10 t = 1
3 * (3t - 1) = 7 - t10t = 10
תוצאה
מסיימים בתשובה
המרחק הוא sqrt(40), כלומר 2 sqrt(10) בערך 6.32.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנקודה והישר known

מה עושים

נקודת P עם קואורדינטות (7,5) וישר הנתון במשוואה y = -3x + 6.

למה

זו המטרה שלנו - למצוא מרחק בין נקודה לישר.

נתונים בסיסיים להמשך החישוב.

בחירת שיטה

הגדרת נקודה על הישר בפרמטר

מה עושים

נסמן את הנקודה על הישר כ-(t; -3t + 6).

למה

ייצוג פרמטרי עוזר בבניית משוואת השיפוע בין הנקודות.

כך נוכל לחשב את השיפוע ולמצוא t ספציפי.

חשוב לקחת את t כמשתנה חופשי על הישר.

בניית משוואה

משוואת השיפוע בין הנקודות

מה עושים

נחשב את השיפוע בין (7,5) לנקודת (t, -3t + 6) ונשווה לשיפוע 1/3.

למה

השיפוע בין הנקודה לישר הוא ערך קבוע לפי הגדרת המרחק.

נוצר משוואה ל-t מתוך הגדרות השיפוע.

נוסחה / הצבה

(5 - (-3t + 6)) / (7 - t) = 1/3

כשמשווים שיפועים, חשוב לשים לב למינוס בחישוב.

פתרון

מציאת t

מה עושים

נכפיל ונפשט: 3(5 + 3t - 6) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 10t = 10 t = 1

למה

כדי לקבל את נקודת המפגש שהכי קרובה לנקודה.

הליך בפישוט המשוואה עד לקבלת t.

נוסחה / הצבה

3 * (3t - 1) = 7 - t10t = 10t = 1

כדאי לבדוק את הפתרון לנכונות.

פתרון

מרחק בין הנקודות

מה עושים

נציב t=1 ונחשב את נקודת המפגש: (1, 3). נחשב מרחק E בין (7,5) ל-(1,3): sqrt((7-1)^2+(5-3)^2)=sqrt(36+4)=sqrt(40).

למה

חישוב המרחק באמצעות נוסחת פיתגורס.

תוצאה סופית של המרחק הרצוי.

נוסחה / הצבה

distance= sqrt((7- 1)^2+ (5- 3)^2)

אפשר לפשט sqrt(40) ל-2sqrt(10).

תשובה

המרחק בין הנקודה לישר

מה עושים

המרחק הוא sqrt(40), כלומר 2 sqrt(10) בערך 6.32.

למה

זוהי התוצאה הסופית.

סיכום התוצאה.

פתרונות כלליים

חישוב מרחק נקודה מהישר: נרשום את משוואת הישר בצורה סטנדרטית: 3x + y - 6 = 0. נשתמש בנוסחת המרחק: d = |3*7 + 1*5 - 6| / sqrt(3^2 + 1^2) = |21 + 5 - 6| / sqrt(9 + 1) = |20| / sqrt(10) = 20 / 3.16 ≈ 6.32.
חישוב נקודה על ישר במתודה פרמטרית: y = -3t + 6. השיפוע הוא (5 - y) / (7 - t) = 1/3 נציב y ונקבל: (5 - (-3t + 6)) / (7 - t) = 1/3 (5 + 3t - 6) / (7 - t) = 1/3 (3t -1) / (7 - t) = 1/3 נעשה cross multiply: 3(3t -1) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 9t + t = 7 + 3 10t = 10 t = 1.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד2. פתרון תרגיל באנליטית

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מרחק נקודה P מהישר

נקודה P(7,5)

נתון 2

הרעיון המרכזי

נחשב את השיפוע בין (7,5) לנקודת (t, -3t + 6) ונשווה לשיפוע 1/3.

נקודת P עם קואורדינטות (7,5) וישר הנתון במשוואה y = -3x + 6.

נכפיל ונפשט: 3(5 + 3t - 6) = 7 - t 9t - 3 = 7 - t 10t = 10 t = 1

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הנקודה והישר known

הגדרת נקודה על הישר בפרמטר

משוואת השיפוע בין הנקודות

מציאת t

מרחק בין הנקודות

המרחק בין הנקודה לישר

פתרונות כלליים