מציאת משוואת האלכסון השני בריבוע ABCD
רמת קושי: קל
נתונה נקודה A(1,-3) ועובדה שהאלכסון הראשון של הריבוע משוואתו y=2x. מצא את משוואת האלכסון השני של הריבוע.
אלגברהאנליטיתשיפועמשוואת ישר
רמז: נצל את תכונת האלכסונים בריבוע - הם מניחים זה לזה. חשב את השיפוע ההפוך והנוגד, ומצא משוואת הישר ע"פ נקודה ושיפוע.
פתרון מלא
תשובה סופית: y = -1/2 x - 5/2
השיפוע של האלכסון הראשון הוא 2. השיפוע של האלכסון השני יהיה -1/2.
השתמש בנקודה A כדי למצוא את משוואת הישר:
y - (-3) = -1/2 (x - 1)
פשט את המשוואה: y + 3 = -1/2 x + 1/2
y = -1/2 x - 5/2
מציאת נקודת החיתוך C של שני האלכסונים
רמת קושי: בינוני
נתונות משוואות האלכסונים: y=2x וכן y = -1/2 x - 5/2. מצא את נקודת החיתוך C.
אנליטיתמערכות משוואותנקודת חיתוך
רמז: פתור את מערכת המשוואות על ידי השוואת הביטויים של y או הצבת אחד בשני.
פתרון מלא
תשובה סופית: C = (-1, -2)
2x = -1/2 x - 5/2
העבר אגפים: 2x + 1/2 x = -5/2
5/2 x = -5/2
x = -1
y = 2*(-1) = -2
נקודת החיתוך: (-1, -2)
מציאת נקודות B ו-D בעזרת סימון פרמטרי וצלע הריבוע
רמת קושי: מאתגר
נגדיר את נקודה B שנמצאת על הישר y=2x, כך ש-x = t ולכן y = 2t. ידוע שהמרחק בין B ל-D שווה לאורך הצלע של הריבוע (שורש 10). נתון A(1,-3) ו-C(-1,-2). מצא את ערכי t והנקודות B ו-D.
אנליטיתנקודות פרמטריותמרחקפתרון משוואות
רמז: חשב את אורך צלע הריבוע בין A ל-B או A ל-D באמצעות הנוסחה למרחק בין נקודות. ציין את B כ-(t, 2t), ואז פתר משוואה ריבועית עבור t.
פתרון מלא
תשובה סופית: B = (0,0) או (-2,-4)
המרחק בין B(t, 2t) ל-A(1, -3) שווה לאורך צלע הריבוע.
נחשב: sqrt((t-1)^2 + (2t+3)^2) = sqrt(10)
הרם בריבוע: (t-1)^2 + (2t+3)^2 = 10
פתור: t^2 - 2t +1 + 4t^2 + 12t + 9=10
5t^2 + 10t + 10 = 10
5t^2 + 10t = 0
5t(t+2) = 0
פתרונות: t = 0 או t = -2
נקודות: B1 = (0,0), B2 = (-2, -4)
פתרון כולל לתרגיל ריבוע עם אלכסונים ומשוואות ישרים
רמת קושי: בגרות
נתון ריבוע ABCD עם נקודה A(1,-3) והאלכסון AC מקיים y=2x. מצא את משוואת האלכסון BD, את נקודת החיתוך C, ואורך צלע הריבוע. השתמש בסימון פרמטרי למציאת שני הקודקודים הנותרים B ו-D.
הלוח ל4-יח'לσκευήהנדסה אנליטיתריבועפרמטריםבגרות
רמז: השתמש בתכונות האלכסונים בריבוע, מצא משוואת BD, חפש את נקודת החיתוך C, סמן נקודות B ו-D בפרמטר t, והשתמש בנוסחה למרחק בין נקודות לפתור עבור t.
פתרון מלא
תשובה סופית: BD: y= -1/2 x - 5/2; C=(-1,-2); B ו-D: (0,0) או (-2,-4); אורך צלע √10.
1. האלכסון AC: y=2x.
2. שיפוע האלכסון השני BD = -1/2.
3. משוואת BD: y + 3 = -1/2 (x -1) → y= -1/2 x -5/2.
4. מצא נקודת החיתוך C:
משוויון y=2x ו-y=-1/2 x -5/2, קיבלת: C=(-1,-2).
5. סימון B ו-D כ-(t,2t).
6. חשב מרחק AB שווה לצלע שווה ל-
sqrt{(t-1)^2+(2t+3)^2}= sqrt(10).
7. פתר משוואת הריבוע t ו-(t+2), נקודות B ו-D הן (0,0) או (-2,-4).