וידאו · הסתברות
ג3. הסתברות תרגיל מהבגרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד פתרון של תרגילי הסתברות הקשורים במשחקים עם נקודות שונות וחשבונאות ההסתברויות לזכייה בסכומי נקודות מסוימים, כולל ניתוח משוואות ריבועיות ושימוש בקומבינטוריקה.
- להבין את מושג ההסתברות במשחק עם מספר אפשרויות זכייה
- ללמוד לבנות משוואות הסתברות מתוך הנתונים המופיעים במשחק
- לחשב הסתברויות של סכומים מצטברים בשני משחקים או יותר
- להבין ולחשב הסתברות אירועים של 'לכל היותר' במספר משתתפים
- להכיר שימושים בסיסיים בקומבינטוריקה בהקשר של הסתברות
- הגדרת הבעיה ופרטי המשחק: הצגת המשחק והסיכויים לזכות בנקודות שונות במשחק אחד.
- חישוב ההסתברות לזכייה בסכומים מסוימים במשחקים רצופים: הסבר של בניית משוואות להסתברויות כשהזכייה מסתכמת ל-25 נקודות בשני משחקים.
- פתרון הגדרת ההסתברות ל-3 משחקים ו-50 נקודות: מיון והכנסת ההסתברויות לאפשרויות שונות לזכייה בסכום כולל של 50 נקודות בשלושה משחקים רצופים.
- הסתברות בגבולות עליונים במספר משתתפים: השימוש בבנק אפשרויות לחישוב ההסתברות ש'לכל היותר אחד' מבין חמישה זוכה ב-50 נקודות.
תרגול קצר
חישוב הסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים
רמת קושי: קל
נתונים במשחק: ההסתברות לזכות ב-30 נקודות היא 0.2, ההסתברות לזכות ב-10 נקודות היא P, ו-15 נקודות היא (0.8 - P). מצא את ערך ההסתברות P על פי המשוואה המתארת זכייה בשני משחקים יחד בסכום של 25 נקודות בהסתברות 0.3.
רמז: השתמש במשוואה ריבועית שנובעת מההסתברויות של זכייה ב-10 ו-15 נקודות ושילובם ב-25.
פתרון מלא
תשובה סופית: P = 0.5
נבנה משוואה: 1.6P - 2P^2 = 0.3, ועוברים צורה סטנדרטית ל-2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0. נפתור בנוסחת שורשים ונבחר את הפתרון ההיגיוני (P>0.4).
הסתברות לזכות ב-50 נקודות בשלושה משחקים
רמת קושי: בינוני
בשלושה משחקים רצופים, סך הנקודות המיוחל הוא 50. הזכיות האפשריות הן 10, 15 או 30 נקודות בכל משחק. חשב את ההסתברות למספר זה תוך התחשבות בסיכויים של כל נקודה כפי שניתנו (30: 0.2, 10: 0.5, 15: 0.3).
רמז: יש למיין את כל האפשרויות של חלוקת הנקודות בסכום 50 ולחשב את ההסתברות בהתחשב במספר האפשרויות לכל חלוקה.
פתרון מלא
תשובה סופית: ההסתברות הכוללת היא 0.15
האפשרויות הן (30, 10, 10) או (10, 15, 25) אך 25 לא קיימת, לכן רק (30, 15, 5) גם לא, לכן רק (30, 15, 10) בסדרות שונות. נחשב הסתברות לפי תרחישים ונכפיל ב-3 על פי פיזור תרגום. סיכוי לזכות ב-50 נקודות הוא 0.15
הסתברות שכל היותר אחד יזכה ב-50 נקודות מחמישה שחקנים
רמת קושי: מאתגר
בחמישה אנשים שמשחקים במשחק, חשב את ההסתברות שלכל היותר אחד מהם יהיה סכום זכיות של 50 נקודות, בהינתן שהסתברות מזכה ב-50 נקודות היא 0.15 לכל שחקן באופן עצמאי.
רמז: השימוש בהתפלגות בינומית עם p=0.15, חישוב ההסתברות ש-0 או 1 שחקנים יזכו.
פתרון מלא
תשובה סופית: ההסתברות היא כ-0.8352
חישוב באמצעות סכום ההסתברויות לאירועים Bin(5,0) ו-Bin(5,1). P(0) = (0.85)^5, P(1) = 5*(0.15)*(0.85)^4. סך הכל: P = P(0) + P(1) = 0.4437 + 0.3915 = 0.8352.
פתרון הסתברות במשחק עם שלושה ערכי נקודות
רמת קושי: בגרות
במשחק עם שלוש אפשרויות זכייה בנקודות (10, 15, 30) והסתברות לזכות ב-30 נקודות 0.2, אם ההסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים היא 0.3, מצא את ההסתברות לזכות ב-10 נקודות.
רמז: הנח P עבור 10 נקודות, וכתוב משוואה ריבועית על P לפי ההסתברות המשולבת לזכייה ב-25 נקודות בשני משחקים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.5
נרשום P להסתברות ל-10 נקודות, (0.8-P) ל-15 נקודות, ומקבלים משוואה ריבועית 2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0, פותרים ומקבלים P=0.5.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל הסתברות – חישוב P במשחק
הסבר שלבי פתרון המשוואה הריבועית למציאת ההסתברות לזכייה ב-10 נקודות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הערך המדויק של P
- נתון 1
הסתברות לזכות ב-30 נקודות: 0.2
- נתון 2
הסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים: 0.3
- נתון 3
הסתברות לזכות ב-10 נקודות: P
- רעיון
הרעיון המרכזי
לבנות משוואה ריבועית על P מתוך התחשבות בכל האפשרויות לזכייה ב-25 נקודות בשני משחקים ולפתור אותה.
- נוסחה
נבנה משוואה של P על פי הסיכוי לזכות 25 נקודות: 2 * P * (0.8 - P) = 0.3.
2 * P * (0.8 - P) = 0.3 - משוואה
מעבירים הכל לצד אחד כדי לקבל: 2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0
מעבירים הכל לצד אחד כדי לקבל: 2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0
2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0 - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הסתברויות הזכייה במשחק אחד
זיהוי נתונים
הסתברויות הזכייה במשחק אחד
מה עושים
יש שלוש אפשרויות לזכייה בנקודות: 10 עם הסתברות P, 15 עם 0.8-P, ו-30 עם 0.2.
למה
נתוני השאלה כדי להגדיר את המושגים הבסיסיים.
השלוש אפשרויות זכייה עם הסתברויות שונות, כאשר סכום ההסתברויות במשחק אחד חייב להיות 1.
2בחירת שיטה
בחינת סכום נקודות בשני משחקים
בחירת שיטה
בחינת סכום נקודות בשני משחקים
מה עושים
זכייה של 25 נקודות היא רק משילוב 10 ו-15 בניגודים שונים.
למה
אין סכומים אחרים האפשריים ל-25 נקודות כפי שהוגדרו.
אפשרויות לזכות 25 נקודות בשני משחקים הן (10 ו-15) או (15 ו-10).
3בניית משוואה
בניית משוואת ההסתברות
בניית משוואה
בניית משוואת ההסתברות
מה עושים
נבנה משוואה של P על פי הסיכוי לזכות 25 נקודות: 2 * P * (0.8 - P) = 0.3.
למה
שימוש בנוסחה של ההסתברות ששני אירועים מתרחשים בתורם עם סכום נקודות מתאים.
נבנה ונפשט את המשוואה ריבועית: 1.6P - 2P^2 = 0.3.
נוסחה / הצבה
2 * P * (0.8 - P) = 0.3זכור שכפל של ההסתברויות משני המשחקים.
4פתרון
הצבת המשוואה בצורה סטנדרטית
פתרון
הצבת המשוואה בצורה סטנדרטית
מה עושים
מעבירים הכל לצד אחד כדי לקבל: 2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0
למה
משוואה ריבועית סטנדרטית שמאפשרת פתרון קל ומדויק.
לפשט את המשוואה ולפתור בעזרת נוסחת השורשים.
נוסחה / הצבה
2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0כעת יש לפתור את המשוואה בעזרת נוסחת שורשים.
5בדיקה
בחינת ערכי הפתרון הרלוונטיים
בדיקה
בחינת ערכי הפתרון הרלוונטיים
מה עושים
מחשבים את השורשים ומוציאים את הפתרון שבו P > 0.4.
למה
יכולת ההסתברות חייבת להיות בין 0 ל-1, ונתון כי P גדול מ-0.4.
בעזרת נוסחת השורשים מתקבלת פתרונות 0.3 ו-0.5, בוחרים P=0.5.
הפתרון 0.3 נדחה כי P גדול מ-0.4.
6תשובה
ערך ההסתברות P
תשובה
ערך ההסתברות P
מה עושים
P = 0.5
למה
זוהי ההסתברות המתאימה לזכות ב-10 נקודות במשחק כדי שתהיה הסתברות כוללת כ-0.3 לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים.
סיכום: P=0.5 הוא הפתרון המתאים.
פתרונות כלליים
- חישוב הסתברות לזכות ב-25 נקודות בשני משחקים: נבנה משוואה: 1.6P - 2P^2 = 0.3, ועוברים צורה סטנדרטית ל-2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0. נפתור בנוסחת שורשים ונבחר את הפתרון ההיגיוני (P>0.4).
- הסתברות לזכות ב-50 נקודות בשלושה משחקים: האפשרויות הן (30, 10, 10) או (10, 15, 25) אך 25 לא קיימת, לכן רק (30, 15, 5) גם לא, לכן רק (30, 15, 10) בסדרות שונות. נחשב הסתברות לפי תרחישים ונכפיל ב-3 על פי פיזור תרגום. סיכוי לזכות ב-50 נקודות הוא 0.15
- הסתברות שכל היותר אחד יזכה ב-50 נקודות מחמישה שחקנים: חישוב באמצעות סכום ההסתברויות לאירועים Bin(5,0) ו-Bin(5,1). P(0) = (0.85)^5, P(1) = 5*(0.15)*(0.85)^4. סך הכל: P = P(0) + P(1) = 0.4437 + 0.3915 = 0.8352.
- פתרון הסתברות במשחק עם שלושה ערכי נקודות: נרשום P להסתברות ל-10 נקודות, (0.8-P) ל-15 נקודות, ומקבלים משוואה ריבועית 2P^2 - 1.6P + 0.3 = 0, פותרים ומקבלים P=0.5.