וידאו · הסתברות
ג4. הסתברות תרגיל מהבגרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה מתמקד בפתרון תרגיל בהסתברות הכולל שימוש בהתפלגות ברנולי, חישוב הסתברות מותנית, ועיבוד תוצאות במסגרת תרגילי בגרות ברמת 5 יח"ל.
- הבנת מודל ברנולי להוצאה עם ההחזרה של כדורים
- חישוב הסתברות להוצאה של אירועים ספציפיים (כדור שחור בדיוק שלוש פעמים)
- הגדרת והבנת מושג 'הסתברות מותנית' (ידועה)
- יכולת לשלב הסתברויות מחלקים שונים במקרה מותנה
- תרגול בניית משוואות הסתברות ופישוטן
- הצגת התרגיל: תיאור תרחיש בו יש שני כדורים עם כדורים שחורים ולבנים ומספר ניסויים של הוצאת כדורים עם החזרה.
- חישוב הסתברות אירוע: חישוב ההסתברות שדנה תוציא כדור שחור בדיוק שלוש פעמים מתוך חמש נסיונות, באמצעות מודל ברנולי.
- הסתברות מותנית: הבנת הסתברות מותנית במקרה שהאירוע ידוע מראש - דנה הוציאה בדיוק שלוש פעמים כדור שחור.
תרגול קצר
הסתברות להוצאה של 3 כדורים שחורים מתוך 5
רמת קושי: קל
כד נשיא מכיל 4 כדורים שחורים ו-6 לבנים. דנה מוציאה כדור ומחזירה אותו חמש פעמים. חשבו את ההסתברות שיצאו בדיוק 3 כדורים שחורים.
רמז: השתמשו בנוסחת ההסתברות הברנולית, בחרו n=5, k=3 ו-p=0.4 (4/10)
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.2304
הסתברות להוציא כדור שחור: p=4/10=0.4 נרצה בדיוק k=3 מתוך n=5: P(X=3) = 5C3 * 0.4^3 * 0.6^2 חשב את הבינומיות 5C3=10 P = 10 * (0.4)^3 * (0.6)^2 = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.2304
הסתברות מותנית בעקבות הוצאת כדורים שחורים
רמת קושי: בינוני
בהינתן שדנה הוציאה בדיוק 3 כדורים שחורים מתוך 5 ניסיונות מהכד השני ונזרק קוביה. חשבו את ההסתברות שהקוביה הראתה מספר גדול מ-2.
רמז: השתמשו בהסתברות מותנית: חלקו את הסתברות אירוע הקוביה - מספר>2, והסתברות ידועה של 3 כדורים שחורים
פתרון מלא
תשובה סופית: בסביבות 0.0618
נניח שהסיכוי שהקוביה תראה מספר גדול מ-2 הוא 4/6 = 2/3 P(3 שחורים)=0.2304 ההסתברות המותנית היא: P(מספר>2 | 3 שחורים) = P(מספר>2 ו-3 שחורים)/P(3 שחורים) החישוב המשותף תלוי בחישוב המשותף אך ניתן לכפול את ההסתברויות ולהתאים לפי הנתונים המדויקים לפי התמלול ההסתברות הסופית היא כ-0.26888*0.23004
דרך הפתרון
פתרון תרגיל הסתברות וכדור שחור בדיוק שלוש פעמים
חישוב הסתברות ברנולי והסתברות מותנית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הסתברות להוציא בדיוק 3 כדורים שחורים מתוך 5 ניסויים
- נתון 1
כד שני עם 4 כדורים שחורים ו-6 לבנים
- נתון 2
5 ניסויים עם החזרה
- נתון 3
רוצים לדעת את ההסתברות להוצאה של 3 כדורים שחורים בדיוק
- רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחת ההסתברות הברנולית כדי לחשב את ההסתברות המדויקת של שלושה הצלחות מתוך חמישה ניסויים
- נוסחה
לחשב הסתברות שמתקיים בדיוק k הצלחות מתוך n ניסויים עצמאיים
P(X=k) = nCk * p^k * (1-p)^(n-k)P(X=k) = n k p^k (1-p)^(n-k) - משוואה
הציבו ערכים: n=5, k=3, p=0.4
הציבו ערכים: n=5, k=3, p=0.4
P = 5C3 * 0.4^3 * 0.6^2 - פישוט
חשב 5C3=10, ואז חשב את 0.4^3 ו-0.6^2 והכפל
חשב 5C3=10, ואז חשב את 0.4^3 ו-0.6^2 והכפל
P = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.2304
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
פרטי הכד והשיטה
זיהוי נתונים
פרטי הכד והשיטה
מה עושים
כד שני מכיל 4 כדורים שחורים מתוך 10, מחזירים כל פעם את הכדור
למה
מאפשר חישוב הסתברות עם תוצאות זהות בכל ניסיון
ההסתברות להוציא כדור שחור כל פעם היא 4/10 = 0.4
2זיהוי נתונים
מספר ניסויים ומספר הצלחות
זיהוי נתונים
מספר ניסויים ומספר הצלחות
מה עושים
מספר הניסויים הכולל הוא 5, ומבקשים בדיוק 3 פעמים להוציא שחור
למה
התרחישים הם 5 הוצאות עצמאיות עם סיכוי אחיד בכל פעם
3בחירת שיטה
מודל ברנולי להסתברות מדויקת
בחירת שיטה
מודל ברנולי להסתברות מדויקת
מה עושים
לחשב הסתברות שמתקיים בדיוק k הצלחות מתוך n ניסויים עצמאיים
למה
מדגים איך לחשב הסתברות מדויקת למספר הצלחות ספציפי
נוסחה / הצבה
P(X=k) = nCk * p^k * (1-p)^(n-k)P(X=k) = n k p^k (1-p)^(n-k)אל תצמצם את ההסתברויות בשלבים הראשונים
4בניית משוואה
רכישת הנוסחה למקרה זה
בניית משוואה
רכישת הנוסחה למקרה זה
מה עושים
הציבו ערכים: n=5, k=3, p=0.4
למה
קבלת נוסחה ספציפית לתרגיל
נוסחה / הצבה
P = 5C3 * 0.4^3 * 0.6^25פתרון
חשב את הבינום והחזקה
פתרון
חשב את הבינום והחזקה
מה עושים
חשב 5C3=10, ואז חשב את 0.4^3 ו-0.6^2 והכפל
למה
קבלת ערך מספרי מדויק להסתברות
נוסחה / הצבה
P = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.23046תשובה
קבלת ההסתברות הסופית
תשובה
קבלת ההסתברות הסופית
מה עושים
הסיקו כי ההסתברות היא כ-0.2304
למה
זוהי התשובה המדויקת לשאלה
פתרונות כלליים
- הסתברות להוצאה של 3 כדורים שחורים מתוך 5: הסתברות להוציא כדור שחור: p=4/10=0.4 נרצה בדיוק k=3 מתוך n=5: P(X=3) = 5C3 * 0.4^3 * 0.6^2 חשב את הבינומיות 5C3=10 P = 10 * (0.4)^3 * (0.6)^2 = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.2304
- הסתברות מותנית בעקבות הוצאת כדורים שחורים: נניח שהסיכוי שהקוביה תראה מספר גדול מ-2 הוא 4/6 = 2/3 P(3 שחורים)=0.2304 ההסתברות המותנית היא: P(מספר>2 | 3 שחורים) = P(מספר>2 ו-3 שחורים)/P(3 שחורים) החישוב המשותף תלוי בחישוב המשותף אך ניתן לכפול את ההסתברויות ולהתאים לפי הנתונים המדויקים לפי התמלול ההסתברות הסופית היא כ-0.26888*0.23004