וידאו · בעיות מילוליות
ג7. בעיות תנועה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בפתרון בעיות תנועה הכוללות שינויי מהירות ועיכובים, עם דגש על בניית משוואות ותכנון מול ביצוע.
- להבין ולהשתמש בנוסחת מהירות, זמן, דרך
- לנתח מצב של עיכוב ונסיעה במהירות משתנה
- לבנות משוואות ממידע מילולי
- לפתור משוואות ליניאריות במשתנה אחד
- הצגת התרגיל המרכזי: תרגיל מעשי בו מכונית נוסעת במהירות משתנה ועוברת עיכוב, ומטרת הפתרון היא למצוא את מהירות הנסיעה הראשונית.
- תכנון מול ביצוע: חלוקת הנסיעה לשני שלבים: לפני העיכוב ואחרי העיכוב, תוך פירוק זמנים ומהירויות מתואמות.
תרגול קצר
מציאת מהירות נסיעה לפני העיכוב
רמת קושי: קל
מכונית נוסעת למרחק 360 ק"מ במהירות קבועה v. לאחר שנסעה שעה וחצי היא התעכבה במשך שלושת רבעי שעה, ואז המשיכה במהירות גבוהה ב-10 קמ"ש. היא הגיעה לעיר השנייה 25 דקות אחרי הזמן שתכננה. מצא את מהירות הנסיעה ההתחלתית v.
רמז: חלק את הנסיעה לשני חלקים: לפני העיכוב ואחריו. כתוב משוואה המבטאת את שינוי הזמן הכולל בתכנון מול הביצוע.
פתרון מלא
תשובה סופית: מהירות הנסיעה ההתחלתית היא הפתרון למשוואה לעיל (פירוט פתרון המשוואה ידרוש חישוב נוסף).
נסמן את מהירות הנסיעה ההתחלתית ב-v. נחשב את הזמן בנסיעה הראשונה: 1.5 שעות. המרחק בנסיעה זו הוא v*1.5 יתר המרחק הוא 360 - 1.5v. המהירות בנסיעה השנייה היא v+10. זמן הנסיעה בנסיעה השנייה הוא (360 - 1.5v) / (v + 10). הזמן המתוכנן הכולל הוא 360/v, ללא עיכוב. הזמן בפועל הוא 1.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v+10). המשוואה היא: (1.5 + 0.75 + (360-1.5v)/(v+10)) - 360/v = 25/60. לפשט ולפתור אותה ימוצא את v.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל בעיות תנועה עם עיכוב ומהירות משתנה
מציאת מהירות נסיעה התחלתית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מהירות הנסיעה הפותחת v
- נתון 1
מרחק כולל 360 ק"מ
- נתון 2
נסיעה ראשונה במשך 1.5 שעות במהירות v
- נתון 3
עיכוב של 0.75 שעות
- רעיון
הרעיון המרכזי
לחלק את הנסיעה לשני שלבים, לכתוב משוואה של זמנים הכוללת את העיכוב והאיחור, ולפתור למשוואה עם v.
- נוסחה
חשב זמן הנסיעה השני ושל הזמן הכולל
1.5 + 0.75 + (360 - 1.5*v) / (v + 10)(1.5) + (0.75) + (360 - 1.5*v) / (v + 10)1.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v + 10) - משוואה
כתוב משוואה המבטאת את האיחור
כתוב משוואה המבטאת את האיחור
1.5 + 0.75 + (360 - 1.5*v) / (v + 10) - 360 / v = 5 / 121.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v + 10) - (360)/(v) = (5)/(12) - פישוט
פשט ופתור את המשוואה עבור v
פשט ופתור את המשוואה עבור v
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נתונים
זיהוי נתונים
הגדרת נתונים
מה עושים
רשום את המרחק, זמני הנסיעה והעיכוב
למה
להבין מהם הנתונים לתרגיל
מרחק = 360 ק"מ, זמן נסיעה ראשון = 1.5 שעות, עיכוב = 0.75 שעות, זמן האיחור = 25 דקות = 5/12 שעות
2בחירת שיטה
חלק את הנסיעה לשני חלקים
בחירת שיטה
חלק את הנסיעה לשני חלקים
מה עושים
לחשב מרחק וזמן בכל חלק
למה
כדי להגדיר את המשתנים
נוסעים 1.5 שעות במהירות v לכן המרחק בחלק זה הוא 1.5*v
3בניית משוואה
כתיבת משוואות לזמן הנסיעה
בניית משוואה
כתיבת משוואות לזמן הנסיעה
מה עושים
חשב זמן הנסיעה השני ושל הזמן הכולל
למה
למצוא ביטוי לזמן הכולל המתוכנן והפועל
זמן החלק השני = (360 - 1.5v) / (v + 10) זמן כולל מתוכנן = 360/v זמן כולל בפועל = 1.5 + 0.75 + זמן החלק השני
נוסחה / הצבה
1.5 + 0.75 + (360 - 1.5*v) / (v + 10)(1.5) + (0.75) + (360 - 1.5*v) / (v + 10)1.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v + 10)חשוב לכתוב הכל בשעות
4פתרון
בניית משוואה לאיחור
פתרון
בניית משוואה לאיחור
מה עושים
כתוב משוואה המבטאת את האיחור
למה
ליצור משוואה עם v כמשתנה
(1.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v + 10)) - 360/v = 5/12
נוסחה / הצבה
1.5 + 0.75 + (360 - 1.5*v) / (v + 10) - 360 / v = 5 / 121.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v + 10) - (360)/(v) = (5)/(12)פישוט ופתירת המשוואה ייתן את v
5פתרון
פתרון המשוואה
פתרון
פתרון המשוואה
מה עושים
פשט ופתור את המשוואה עבור v
למה
למצוא את מהירות הנסיעה הראשונה
פישוט המשוואה מחייב למצוא מכנה משותף ולפתור משוואה ריבועית או ליניארית בהתאם
ניתן לפתור בעזרת גבולות או שימוש במחשבון גרפי
6תשובה
מציאת התוצאה הסופית
תשובה
מציאת התוצאה הסופית
מה עושים
קבל את ערך v
למה
זוהי מהירות הנסיעה לפני העיכוב
לאחר הפתרון מתקבל ערך מהירות v המתאים לנתונים ולתנאי האיחור
פתרונות כלליים
- מציאת מהירות נסיעה לפני העיכוב: נסמן את מהירות הנסיעה ההתחלתית ב-v. נחשב את הזמן בנסיעה הראשונה: 1.5 שעות. המרחק בנסיעה זו הוא v*1.5 יתר המרחק הוא 360 - 1.5v. המהירות בנסיעה השנייה היא v+10. זמן הנסיעה בנסיעה השנייה הוא (360 - 1.5v) / (v + 10). הזמן המתוכנן הכולל הוא 360/v, ללא עיכוב. הזמן בפועל הוא 1.5 + 0.75 + (360 - 1.5v)/(v+10). המשוואה היא: (1.5 + 0.75 + (360-1.5v)/(v+10)) - 360/v = 25/60. לפשט ולפתור אותה ימוצא את v.