וידאו · בעיות מילוליות
ג8. בעיות תנועה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא בעיות תנועה בלימוד מתמטי רמת 4 יחידות, המתמקד בהבנת בעיות מילוליות ויצירת משוואות למציאת מהירויות וזמנים במסלולי נסיעה שונים.
- להבין את רכיבי הבעיה המילולית בתנועת רכבים.
- לזהות נתונים ובעיות בתנועה ולהגדיר אותם בצורה מתמטית.
- לנתח סיטואציות תנועה מורכבות הכוללות שינויי מהירות וזמנים.
- לייצר משוואות מתמטיות מהנתונים המתוארים.
- להכין תכנית פתרון מובנית לבעיות תנועה.
- הצגת הבעיה: הסבר על שתי מכוניות שיצאו באותו הזמן ונוסעות בין שתי ערים בהתאם לנתונים שונים של מהירויות וזמנים.
- הבנת הנתונים והמשתנים: הגדרת המהירויות והמרחקים השונים, כמו גם תיאור יחסים אחוזיים והפרשי מהירויות לצורך ניסוח המשוואות.
- יצירת המשוואות: הכנת משוואות זמן ומהירות בהתאם לנתונים, תוך התחשבות בשינויים בנתונים וביחסים בין המכוניות.
תרגול קצר
חישוב מהירות המכונית הראשונה
רמת קושי: קל
שתי מכוניות יוצאות מאותו המקום ומגיעות לעיר השנייה במרחק 180 קילומטר. המכונית הראשונה נוסעת במהירות קבועה V. המכונית השנייה נוסעת שליש מהדרך במהירות גבוהה ב-20 קמ"ש מ-V, אחר כך נעצרת חצי שעה, ואז ממשיכה במהירות נמוכה ב-25% מהמהירות הקודמת. מצא את מהירות המכונית הראשונה.
רמז: הגדר משוואות לזמן של כל חלק בדרך והשתמש בזהות הזמנים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 39
הנח מהירות המכונית הראשונה V. המכונית השנייה נוסעת 60 ק"מ במהירות V+20, אז הזמן הוא 60/(V+20). יש עיכוב של 0.5 שעות. החלק הנותר (120 ק"מ) במכונית השנייה נע במהירות 0.75*(V+20), אז הזמן שלו הוא 120/(0.75*(V+20)). הזמן הכולל של המכונית השנייה הוא סכום הזמנים והעיכוב. הזמן של המכונית הראשונה הוא 180/V. כיוון שהן יצאו והגיעו באותו זמן: 180/V = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20)) יש לפתור משוואה זו עבור V.
דרך הפתרון
פתרון בעיית תנועת המכוניות
איך לגשת לבעיה של מהירויות וזמנים עם עיכוב ומהירות משתנה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מהירות המכונית הראשונה V
- נתון 1
מרחק כולל בין הערים: 180 ק"מ
- נתון 2
המכונית השנייה נוסעת 60 ק"מ במהירות V+20 קמ"ש
- נתון 3
המכונית השנייה עוצרת חצי שעה
- רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואת זמנים שתשווה את זמן הנסיעה של שתי המכוניות ולפתור עבור V.
- נוסחה
חשוב את הזמן של המכונית הראשונה באמצעות מהירות V לכל הדרך.
t1 = 180 / Vt_1 = 180 / Vt_1 = (180)/(V) - משוואה
חשב את סך הזמן של המכונית השנייה בחיבור הזמנים לכל שלב והעיכוב.
חשב את סך הזמן של המכונית השנייה בחיבור הזמנים לכל שלב והעיכוב.
t2 = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20))t_2 = (60)/(V+20) + 0.5 + (120)/(0.75(V+20))t_2 = (60)/(V+20) + 0.5 + (120)/(0.75 (V+20)) - פישוט
השווה את זמנים t1 ו-t2 כדי ליצור משוואה לפתרון מהירות V.
השווה את זמנים t1 ו-t2 כדי ליצור משוואה לפתרון מהירות V.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
מה עושים
הגדר את מרחקי המסלול ומהירויות המוכרות.
למה
זה חשוב כדי להבין אילו משתנים יש לנו ולארגן נכון את הנתונים.
180 ק"מ לסך הדרך, 60 ק"מ במהירות V+20, עצירה חצי שעה, ומהירות 75% ממהירות הקודמת ליתר הדרך.
רשום את כל הנתונים המספריים והפרופורציות.
2בחירת שיטה
קביעת משוואת זמן למכונית השנייה
בחירת שיטה
קביעת משוואת זמן למכונית השנייה
מה עושים
חשב את הזמן של כל שלב בנתיב המכונית השנייה.
למה
הזמן בכל שלב שונה לפי המרחק ומהירות הנסיעה.
שליש מהדרך במהירות גבוהה, עצירה חצי שעה, והמשך במהירות מופחתת.
זמן = מרחק חלקי מהירות בכל חלק של המסלול.
3בניית משוואה
זמן נסיעה מכונית ראשונה
בניית משוואה
זמן נסיעה מכונית ראשונה
מה עושים
חשוב את הזמן של המכונית הראשונה באמצעות מהירות V לכל הדרך.
למה
יש צורך בזמן כולל לפתרון המשוואה.
הזמן של המכונית הראשונה הוא 180 חלקי V.
נוסחה / הצבה
t1 = 180 / Vt_1 = 180 / Vt_1 = (180)/(V)שמור ביטויים פשוטים וברורים.
4בניית משוואה
זמן נסיעה מכונית שנייה
בניית משוואה
זמן נסיעה מכונית שנייה
מה עושים
חשב את סך הזמן של המכונית השנייה בחיבור הזמנים לכל שלב והעיכוב.
למה
יש לשלב בין הזמנים השונים מכל שלב plus העיכוב.
t_2 = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20))
נוסחה / הצבה
t2 = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20))t_2 = (60)/(V+20) + 0.5 + (120)/(0.75(V+20))t_2 = (60)/(V+20) + 0.5 + (120)/(0.75 (V+20))שים לב לסדר הנכנס של החישוב.
5פתרון
יצירת משוואת שוויון בזמנים
פתרון
יצירת משוואת שוויון בזמנים
מה עושים
השווה את זמנים t1 ו-t2 כדי ליצור משוואה לפתרון מהירות V.
למה
שתי המכוניות יצאו והגיעו באותו זמן ולכן זמני הנסיעה שווים.
180/V = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20))
נוסחה / הצבה
180 / V = 60 / (V + 20) + 0.5 + 120 / (0.75 * (V + 20))(180)/(V) = (60)/(V+20) + 0.5 + (120)/(0.75 (V+20))הכנה לפיתרון במסגרת שיעור מתקדם.
6תשובה
סיכום הפתרון
תשובה
סיכום הפתרון
מה עושים
פותר את המשוואה ומקבל V = 39 קמ"ש.
למה
זוהי מהירות המכונית הראשונה התואמת את התנאים.
המהירות של המכונית הראשונה היא 39 קמ"ש.
אל תשכח לבדוק את הפתרון בהקשר הבעיה.
פתרונות כלליים
- חישוב מהירות המכונית הראשונה: הנח מהירות המכונית הראשונה V. המכונית השנייה נוסעת 60 ק"מ במהירות V+20, אז הזמן הוא 60/(V+20). יש עיכוב של 0.5 שעות. החלק הנותר (120 ק"מ) במכונית השנייה נע במהירות 0.75*(V+20), אז הזמן שלו הוא 120/(0.75*(V+20)). הזמן הכולל של המכונית השנייה הוא סכום הזמנים והעיכוב. הזמן של המכונית הראשונה הוא 180/V. כיוון שהן יצאו והגיעו באותו זמן: 180/V = 60/(V+20) + 0.5 + 120/(0.75*(V+20)) יש לפתור משוואה זו עבור V.